Calcule
nos exercícios 17. a 19 .
, para
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação
. Nosso objetivo é encontrar a derivada
quando
e
. Vamos usar cálculo diferencial, especificamente a diferenciação implícita, porque
está definido em termos de
de uma forma que não é fácil isolar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a equação para facilitar a diferenciação. Sabemos que
pode ser reescrito usando propriedades de logaritmos e exponenciais:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando derivamos termos com
, precisamos usar a regra da cadeia.
Diferenciando o lado esquerdo:
Usamos a regra do quociente:
Onde
e
.
Calculando as derivadas:
Ent��o,
Diferenciando o lado direito:
Passo 4
Agora, igualamos as duas derivadas:
Queremos encontrar
quando
e
. Substituindo esses valores:
Simplificando as funções trigonométricas e exponenciais:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Resposta
Portanto, a derivada
quando
e
é:
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