Calcule y' nos exercícios 17. a 19 .
y² cos(x) / e^x = 2^(ln(y)), para x = 0 e y = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação . Nosso objetivo é encontrar a derivada y' quando x = 0 e . Vamos usar cálculo diferencial, especificamente a diferenciação implícita, porque y está definido em termos de x de uma forma que não é fácil isolar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a equação para facilitar a diferenciação. Sabemos que pode ser reescrito usando propriedades de logaritmos e exponenciais:
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então quando derivamos termos com y, precisamos usar a regra da cadeia.
Diferenciando o lado esquerdo:
Usamos a regra do quociente:
Onde e .
Calculando as derivadas:
Ent��o,
Diferenciando o lado direito:

Passo 4

Agora, igualamos as duas derivadas:
Queremos encontrar y' quando x = 0 e . Substituindo esses valores:
Simplificando as funções trigonométricas e exponenciais:

Passo 5

Agora, vamos resolver para y':

Resposta

Portanto, a derivada y' quando x = 0 e é:

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