Derive as funções dos exercícos 6. a 16. (se for conveniente, use derivação logarítmica)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para derivar a função . Esse exercício envolve cálculo de derivadas, especificamente usando a derivação logarítmica, que é uma técnica bem útil quando temos funções com expoentes que também dependem de . Então, vamos precisar das regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Podemos reescrever combinando os termos:
Podemos notar que ambas as partes têm e nos expoentes, então vamos utilizar propriedades de logaritmos e potências para simplificar.

Passo 3

Vamos aplicar a propriedade das potências que diz . No nosso caso, não é direto, mas podemos usar a base e para reescrever a função de uma maneira que facilite a derivação.
No entanto, para facilitar, vamos usar a derivação logarítmica. Vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 4

Usando a propriedade do logaritmo que diz , podemos separar os termos:

Passo 5

Agora, derivamos ambos os lados em relação a . Lembre-se que :
Vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 6

Primeiro, derivamos usando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 7

Agora, derivamos usando a regra da cadeia:

Passo 8

Juntando os dois resultados das derivadas:

Passo 9

Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de é:

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, para e
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