Derive as funções dos exercícos 6. a 16. (se for conveniente, use derivação logarítmica)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para derivar a função
. Esse exercício envolve cálculo de derivadas, especificamente usando a derivação logarítmica, que é uma técnica bem útil quando temos funções com expoentes que também dependem de
. Então, vamos precisar das regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Podemos reescrever
combinando os termos:
Podemos notar que ambas as partes têm
e
nos expoentes, então vamos utilizar propriedades de logaritmos e potências para simplificar.
Passo 3
Vamos aplicar a propriedade das potências que diz
. No nosso caso, não é direto, mas podemos usar a base
e
para reescrever a função de uma maneira que facilite a derivação.
No entanto, para facilitar, vamos usar a derivação logarítmica. Vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 4
Usando a propriedade do logaritmo que diz
, podemos separar os termos:
Passo 5
Agora, derivamos ambos os lados em relação a
. Lembre-se que
:
Vamos derivar cada termo separadamente.
Passo 6
Primeiro, derivamos
usando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 7
Agora, derivamos
usando a regra da cadeia:
Passo 8
Juntando os dois resultados das derivadas:
Passo 9
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada de
é:
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Calcule
nos exercícios 17. a 19 .
, para
e
Derive as funções dos exercícios 25 . a 27 .