Calcule
, onde:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos a equação e precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar derivadas implícitas, que são úteis quando
está misturado com
na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, teremos que aplicar a regra do produto e a regra da cadeia onde necessário.
Derivando o lado esquerdo:
Aqui, a derivada de 1 é 0, e para
usamos a regra do produto: derivada de
é 3, multiplicado por
, mais
vezes a derivada de
, que é
.
Passo 3
Agora, vamos derivar o lado direito da equação:
Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de é
vezes a derivada de
.
Derivando
:
Usamos novamente a regra do produto: derivada de
é 1 vezes
, mais
vezes a derivada de
, que é
.
Passo 4
Agora, substituímos as derivadas encontradas de ambos os lados na equação original:
Passo 5
Nosso objetivo é isolar
. Vamos primeiro distribuir o
:
Agora, vamos levar todos os termos que contêm
para um lado e os demais para o outro:
Fatorando
no lado esquerdo:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A derivada
é dada por:
Exercícios relacionados
Seja
. Calcule
e
.
Calcule
, onde:
.
Verifique se
é diferenciável no ponto
.
Um fabricante quer construir caixas com tampa a partir de uma folha de papelão retangular medindo 10 cm por 16 cm . Para construir a caixa, dois quadrados e dois retângulos são removidos dos cantos da folha de papelão.
As abas que sobram são então dobradas para cima de modo a formar uma caixa com tampa. Qual deve ser a medida , em centímetros, de cada um dos lados dos quadrados que são retirados da folha de papelão, para que o volume
da caixa seja o maior possível?
As abas que sobram são então dobradas para cima de modo a formar uma caixa com tampa. Qual deve ser a medida