Verifique se
é diferenciável no ponto
.
Passo 1
Vamos analisar a função
no ponto
. O conteúdo que vamos usar é cálculo diferencial, especificamente a verificação de diferenciabilidade de funções em um ponto. Precisamos verificar se a função é contínua em
e se as derivadas laterais à esquerda e à direita nesse ponto são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em
. Para isso, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita, e comparamos com o valor de
.
Para
se aproximando de 0 pela esquerda (
):
Para
se aproximando de 0 pela direita (
):
O valor de
é:
Como os limites laterais são iguais e iguais ao valor da função em
, a função é contínua nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade em
calculando as derivadas laterais.
Para a derivada pela esquerda (
):
A função é . Para
,
, então:
A função é
A derivada é:
Portanto, a derivada à esquerda em 0 é:
Para a derivada pela direita (
):
A função é . A derivada é:
A função é
Portanto, a derivada à direita em 0 é:
Resposta
Como as derivadas laterais à esquerda e à direita em
são iguais (
), a função
é diferenciável no ponto
.
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Calcule
, onde:
Seja
. Calcule
e
.
Um fabricante quer construir caixas com tampa a partir de uma folha de papelão retangular medindo 10 cm por 16 cm . Para construir a caixa, dois quadrados e dois retângulos são removidos dos cantos da folha de papelão.
As abas que sobram são então dobradas para cima de modo a formar uma caixa com tampa. Qual deve ser a medida , em centímetros, de cada um dos lados dos quadrados que são retirados da folha de papelão, para que o volume
da caixa seja o maior possível?
As abas que sobram são então dobradas para cima de modo a formar uma caixa com tampa. Qual deve ser a medida
Seja
. Estude a concavidade e determine, se houver, os pontos de inflexão de
.