Verifique se f(x) = { |x| - 1, se x < 0; -e^x, se x ≥ 0 } é diferenciável no ponto x0 = 0.

Passo 1

Vamos analisar a função no ponto . O conteúdo que vamos usar é cálculo diferencial, especificamente a verificação de diferenciabilidade de funções em um ponto. Precisamos verificar se a função é contínua em e se as derivadas laterais à esquerda e à direita nesse ponto são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Para isso, calculamos o limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita, e comparamos com o valor de .
Para se aproximando de 0 pela esquerda ( ):
Para se aproximando de 0 pela direita ( ):
O valor de é:
Como os limites laterais são iguais e iguais ao valor da função em , a função é contínua nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade em calculando as derivadas laterais.
Para a derivada pela esquerda ( ):
A função é . Para , , então:
A derivada é:
Portanto, a derivada à esquerda em 0 é:
Para a derivada pela direita ( ):
A função é . A derivada é:
Portanto, a derivada à direita em 0 é:

Resposta

Como as derivadas laterais à esquerda e à direita em são iguais ( ), a função é diferenciável no ponto .

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