Seja f(x) = e^x * x. Calcule f'(x) e f''(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a primeira e a segunda derivada da função . Isso é parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, onde usamos regras de derivação para encontrar taxas de variação de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada, . A função é um produto de duas funções: e . Quando temos o produto de duas funções, usamos a Regra do Produto.
A Regra do Produto diz que se você tem duas funções, digamos e , então a derivada do produto delas é:

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso:
  • , então (já que a derivada de é ele mesmo).
  • , então (a derivada de é 1).
Agora aplicamos a regra:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, . Para isso, vamos derivar novamente. Novamente, temos um produto de duas funções: e .
Aplicando a Regra do Produto de novo:
  • , então .
  • , então .
A derivada será:

Resposta

A primeira derivada é e a segunda derivada é .

Exercícios relacionados

Calcule y', onde: y = x^2 * ln(3*x^3 - 5).
Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x) = 2x^(4/3) - 3x^(2/3)
Calcule y', onde: 1 + 3 x y = sen(x y^2)
Verifique se f(x) = { |x| - 1, se x < 0; -e^x, se x ≥ 0 } é diferenciável no ponto x0 = 0.