(a) Calcule y^prime(x) para y(x)=integralx^2^x^4 cos (raizt) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a derivada de uma função definida por uma integral. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, mais especificamente a Regra de Leibniz, que é útil para derivar integrais com limites que dependem da variável. Precisaremos entender como aplicar essa regra para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis. Se temos y'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) , então a derivada é dada por:
Isso significa que a derivada da integral é a função avaliada nos limites multiplicada pela derivada desses limites.

Passo 3

No nosso caso, a função é . Aqui, e , e . Vamos identificar cada parte:
  • , então
  • , então

Passo 4

Agora, aplicando a Regra de Leibniz:
y'(x) = cos (raizb(x)) cdot b'(x) - cos (raiza(x)) cdot a'(x)
Substituindo os valores que identificamos:
y'(x) = cos (raizx^4) cdot 4x^3 - cos (raizx^2) cdot 2x

Passo 5

Simplificando as expressões dentro do cosseno:
raizx^4 = x^2 e raizx^2 = x
Então, a expressão fica:
y'(x) = cos (x^2) cdot 4x^3 - cos (x) cdot 2x

Passo 6

Podemos fatorar y'(x) = 2x ( 2x^2 cos (x^2) - cos (x) ) para simplificar a expressão final:

Resposta

A derivada é .

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