(a) Calcule
para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a derivada de uma função definida por uma integral. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, mais especificamente a Regra de Leibniz, que é útil para derivar integrais com limites que dependem da variável. Precisaremos entender como aplicar essa regra para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis. Se temos
, então a derivada
é dada por:
Isso significa que a derivada da integral é a função
avaliada nos limites multiplicada pela derivada desses limites.
Passo 3
No nosso caso, a função é
. Aqui,
e
, e
. Vamos identificar cada parte:
-
-
, então -
, então
Passo 4
Agora, aplicando a Regra de Leibniz:
Substituindo os valores que identificamos:
Passo 5
Simplificando as expressões dentro do cosseno:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Podemos fatorar
para simplificar a expressão final:
Resposta
A derivada é
.
Exercícios relacionados
(a) Uma partícula se move ao longo de uma linha reta com velocidade
em metros por segundo para
. Encontre: (i) o deslocamento e (ii) a distância total percorrida no intervalo de tempo dado.
Use a fórmula
para determinar a derivada das funçőes nos exercícios 23-26.
Considere a série
.
Mostre que é constante (Sugestão: com a ajuda de (b) mostre que a derivada é 0).
Mostre que
Seja
e
mostre que