Considere a série
.
Mostre que
é constante (Sugestão: com a ajuda de (b) mostre que a derivada é 0).
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a série
e pede para mostrar que
é constante. Isso envolve conhecimentos de séries, derivadas e a função exponencial. Para resolver, vamos precisar entender como derivar séries termo a termo e como manipular a função exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que é
. A série dada é
, que reconhecemos como a expansão da função exponencial
. Portanto,
.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
é constante. Substituindo
por
, temos:
Passo 4
Sabemos que, quando multiplicamos exponenciais com a mesma base, somamos os expoentes:
Passo 5
Então,
, que é uma constante, já que não depende de
.
Resposta
Exercícios relacionados
(a) Calcule
para
(a) Uma partícula se move ao longo de uma linha reta com velocidade
em metros por segundo para
. Encontre: (i) o deslocamento e (ii) a distância total percorrida no intervalo de tempo dado.
Seja
e
mostre que
Suponha que você sabe que a série
converge para
. O que você pode dizer da série a seguir? Por quê?