Considere a série sumn=0^infty x^nn!.
Mostre que e^-x f(x) é constante (Sugestão: com a ajuda de (b) mostre que a derivada é 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a série e pede para mostrar que é constante. Isso envolve conhecimentos de séries, derivadas e a função exponencial. Para resolver, vamos precisar entender como derivar séries termo a termo e como manipular a função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é . A série dada é , que reconhecemos como a expansão da função exponencial . Portanto, .

Passo 3

Agora, queremos mostrar que e^-x f(x) = e^-x cdot e^x é constante. Substituindo por , temos:

Passo 4

Sabemos que, quando multiplicamos exponenciais com a mesma base, somamos os expoentes:
e^-x cdot e^x = e^-x + x = e^0 = 1

Passo 5

Então, , que é uma constante, já que não depende de .

Resposta

é constante e igual a 1.

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