Calcule
em que
. Esboce o sólido
que define os limites de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
, onde
é o conjunto de pontos
que satisfazem:
Esse problema está ligado à matéria de cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
onde vamos integrar. Imagine um espaço tridimensional onde
vai de 0 a 1. Para cada valor de
,
varia de 0 até
. E, para cada par
,
varia de 0 até
. Essa região forma um tetraedro no espaço.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral tripla. A integral
pode ser escrita em termos de integrais iteradas, seguindo os limites dados:
Aqui, estamos integrando
primeiro em relação a
, depois em relação a
, e por último em relação a
.
Passo 4
Vamos começar integrando a função
em relação a
:
Isso simplifica a nossa integral para:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
:
Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Quando
,
, e quando
,
. Então:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Finalmente, vamos integrar em relação a
:
Vamos expandir
:
Então:
Calculando cada integral:
Substituindo:
Resposta
O valor da integral tripla
é
.