Calcule
integral triplaV z d V
em que V=(x, y, z) / 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1-x, 0 <= z <= 1-x-y. Esboce o sólido V que define os limites de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1 - x, 0 <= z <= 1 - x - y , onde é o conjunto de pontos que satisfazem:
Esse problema está ligado à matéria de cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. Imagine um espaço tridimensional onde vai de 0 a 1. Para cada valor de , varia de 0 até . E, para cada par , varia de 0 até . Essa região forma um tetraedro no espaço.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral tripla. A integral integralx=0^1 integraly=0^1 - x integralz=0^1 - x - y z , dz , dy , dx pode ser escrita em termos de integrais iteradas, seguindo os limites dados:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a , depois em relação a , e por último em relação a .

Passo 4

Vamos começar integrando a função integral0^1 - x - y z , dz = [ 12 z^2 ]0^1 - x - y = 12 (1 - x - y)^2 em relação a integral0^1 integral0^1 - x 12 (1 - x - y)^2 , dy , dx :
Isso simplifica a nossa integral para:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a integral0^1 - x 12 (1 - x - y)^2 , dy :
u = 1 - x - y Rightarrow du = -dy
Vamos fazer uma substituição para facilitar:
12 integral1 - x^0 u^2 (-du) = 12 integral0^1 - x u^2 , du = 12 [ u^33 ]0^1 - x = 16 (1 - x)^3
Quando integral0^1 16 (1 - x)^3 , dx , , e quando , . Então:
Agora, a integral fica:

Passo 6

Finalmente, vamos integrar em relação a 16 integral0^1 (1 - x)^3 , dx :
(1 - x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3
Vamos expandir 16 [ integral0^1 1 , dx - 3 integral0^1 x , dx + 3 integral0^1 x^2 , dx - integral0^1 x^3 , dx ] :
integral0^1 1 , dx = 1, integral0^1 x , dx = 12, integral0^1 x^2 , dx = 13, integral0^1 x^3 , dx = 14
Então:
16 [ 1 - 3 ( 12 ) + 3 ( 13 ) - 14 ] = 16 [ 1 - 32 + 1 - 14 ] = 16 ( 44 - 64 + 44 - 14 ) = 16 ( 14 ) = 124
Calculando cada integral:
Substituindo:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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