Calcule em Z[i]:
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que você está pedindo é para calcular a soma dos ideais
e
no conjunto dos números de Gauss
. Para fazer isso, vamos trabalhar com ideais em anéis, especificamente no anel dos números inteiros com a unidade imaginária
. Vamos precisar entender como somar esses ideais e encontrar um gerador para o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Esse conjunto é composto por todos os números da forma
, onde
e
são números inteiros e
é a unidade imaginária que satisfaz
. Esse conjunto é conhecido como o anel dos números de Gauss.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre ideais. Em um anel como
, um ideal gerado por um elemento
(escrito como
) é o conjunto de todos os múltiplos de
dentro do anel. Por exemplo,
é o conjunto de todos os números de Gauss que são múltiplos de 2, ou seja, todos os números da forma
.
Passo 4
A soma de dois ideais
é o conjunto de todas as combinações possíveis
, onde
e
são elementos de
. Em termos de geradores, a soma de dois ideais principais também é um ideal principal, ou seja, pode ser gerada por um único elemento que é o máximo divisor comum dos geradores originais.
Passo 5
Para calcular
, precisamos encontrar o máximo divisor comum (mdc) de 2 e
em
. Isso é similar ao que fazemos nos números inteiros, mas aqui usamos o algoritmo de Euclides para números de Gauss.
Passo 6
Vamos aplicar o Algoritmo de Euclides:
-
Dividimos
por 2: Aproximamos para o inteiro mais próximo em, que é . -
Calculamos o resto:
-
Agora, dividimos 2 por
: Multiplicamospor para verificar: Como o resto é zero, o último divisor não nulo é, que é equivalente a (já que multiplicar por não muda o ideal gerado).
Passo 7
Então, o mdc de 2 e
em
é
. Portanto, a soma dos ideais
e
é o ideal gerado por
.