Calcule em Z[i]:
b) lang<= 2rang<=+lang<= 3+irang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você está pedindo é para calcular a soma dos ideais e no conjunto dos números de Gauss . Para fazer isso, vamos trabalhar com ideais em anéis, especificamente no anel dos números inteiros com a unidade imaginária . Vamos precisar entender como somar esses ideais e encontrar um gerador para o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Esse conjunto é composto por todos os números da forma , onde e são números inteiros e é a unidade imaginária que satisfaz . Esse conjunto é conhecido como o anel dos números de Gauss.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre ideais. Em um anel como , um ideal gerado por um elemento (escrito como ) é o conjunto de todos os múltiplos de dentro do anel. Por exemplo, é o conjunto de todos os números de Gauss que são múltiplos de 2, ou seja, todos os números da forma .

Passo 4

A soma de dois ideais é o conjunto de todas as combinações possíveis , onde e são elementos de . Em termos de geradores, a soma de dois ideais principais também é um ideal principal, ou seja, pode ser gerada por um único elemento que é o máximo divisor comum dos geradores originais.

Passo 5

Para calcular , precisamos encontrar o máximo divisor comum (mdc) de 2 e em . Isso é similar ao que fazemos nos números inteiros, mas aqui usamos o algoritmo de Euclides para números de Gauss.

Passo 6

Vamos aplicar o Algoritmo de Euclides:
  1. Dividimos 3+i2 = 1.5 + 0.5i por 2:
    3+i - 2 times 2 = 3+i - 4 = -1 + i
    Aproximamos para o inteiro mais próximo em 2-1+i = 2(-1-i)(-1)^2 + 1^2 = -2 - 2i2 = -1 - i , que é (-1 - i)(-1 + i) = 1 - i + i - i^2 = 1 + 1 = 2 .
  2. Calculamos o resto:
  3. Agora, dividimos 2 por :
    Multiplicamos por para verificar:
    Como o resto é zero, o último divisor não nulo é , que é equivalente a (já que multiplicar por não muda o ideal gerado).

Passo 7

Então, o mdc de 2 e em é . Portanto, a soma dos ideais e é o ideal gerado por .

Resposta

lang<= 2 rang<= + lang<= 3+i rang<= = lang<= 1 + i rang<=

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