Calcule em Z[i]:
b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você está pedindo é para calcular a soma dos ideais e no conjunto dos números de Gauss . Para fazer isso, vamos trabalhar com ideais em anéis, especificamente no anel dos números inteiros com a unidade imaginária . Vamos precisar entender como somar esses ideais e encontrar um gerador para o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Esse conjunto é composto por todos os números da forma , onde e são números inteiros e é a unidade imaginária que satisfaz . Esse conjunto é conhecido como o anel dos números de Gauss.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre ideais. Em um anel como , um ideal gerado por um elemento (escrito como ) é o conjunto de todos os múltiplos de dentro do anel. Por exemplo, é o conjunto de todos os números de Gauss que são múltiplos de 2, ou seja, todos os números da forma .

Passo 4

A soma de dois ideais é o conjunto de todas as combinações possíveis , onde e são elementos de . Em termos de geradores, a soma de dois ideais principais também é um ideal principal, ou seja, pode ser gerada por um único elemento que é o máximo divisor comum dos geradores originais.

Passo 5

Para calcular , precisamos encontrar o máximo divisor comum (mdc) de 2 e em . Isso é similar ao que fazemos nos números inteiros, mas aqui usamos o algoritmo de Euclides para números de Gauss.

Passo 6

Vamos aplicar o Algoritmo de Euclides:
  1. Dividimos por 2:
    Aproximamos para o inteiro mais próximo em , que é .
  2. Calculamos o resto:
  3. Agora, dividimos 2 por :
    Multiplicamos por para verificar:
    Como o resto é zero, o último divisor não nulo é , que é equivalente a (já que multiplicar por não muda o ideal gerado).

Passo 7

Então, o mdc de 2 e em é . Portanto, a soma dos ideais e é o ideal gerado por .

Resposta

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São dados . b. Determine o cosseno do ângulo que forma com .
Calcule em Z[i]:
a) .
Seja uma matrix .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se Imagem , então tem solução para todo .
II - Se para algum o sistema tem infinitas soluções, então .
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Considere o anel de inteiros de Gauss e o ideal . Mostre que
é um homomorfismo de anéis com unidade. Deduza que o anel quociente é isomorfo a .