Beleza, vamos lá! O que você está pedindo é para calcular a soma dos ideais e no conjunto dos números de Gauss . Para fazer isso, vamos trabalhar com ideais em anéis, especificamente no anel dos números inteiros com a unidade imaginária . Vamos precisar entender como somar esses ideais e encontrar um gerador para o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é . Esse conjunto é composto por todos os números da forma , onde e são números inteiros e é a unidade imaginária que satisfaz . Esse conjunto é conhecido como o anel dos números de Gauss.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre ideais. Em um anel como , um ideal gerado por um elemento (escrito como ) é o conjunto de todos os múltiplos de dentro do anel. Por exemplo, é o conjunto de todos os números de Gauss que são múltiplos de 2, ou seja, todos os números da forma .
Passo 4
A soma de dois ideais é o conjunto de todas as combinações possíveis , onde e são elementos de . Em termos de geradores, a soma de dois ideais principais também é um ideal principal, ou seja, pode ser gerada por um único elemento que é o máximo divisor comum dos geradores originais.
Passo 5
Para calcular , precisamos encontrar o máximo divisor comum (mdc) de 2 e em . Isso é similar ao que fazemos nos números inteiros, mas aqui usamos o algoritmo de Euclides para números de Gauss.
Passo 6
Vamos aplicar o Algoritmo de Euclides:
Dividimos por 2:
Aproximamos para o inteiro mais próximo em , que é .
Calculamos o resto:
Agora, dividimos 2 por :
Multiplicamos por para verificar:
Como o resto é zero, o último divisor não nulo é , que é equivalente a (já que multiplicar por não muda o ideal gerado).
Passo 7
Então, o mdc de 2 e em é . Portanto, a soma dos ideais e é o ideal gerado por .