Calcule em Z[i]:
a) mdc(2,3+i).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o MDC (máximo divisor comum) de e no conjunto dos números de Gauss, que são da forma onde e são inteiros. Isso envolve usar a teoria dos números de Gauss e o algoritmo de Euclides adaptado para esses números. Vamos precisar entender como dividir números de Gauss e verificar se um número é divisor de outro nesse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no conjunto dos números de Gauss, podemos fatorar números como fazemos com inteiros. O número (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i pode ser fatorado como . Isso porque:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos verificar se 3 + i1 + i = (3 + i)(1 - i)(1 + i)(1 - i) = 3(1) - 3i + i - i^21 - i^2 = 3 - 2i + 11 + 1 = 4 - 2i2 = 2 - i divide . Para isso, fazemos a divisão:
Como o resultado pertence aos números de Gauss, isso confirma que divide .

Passo 4

Sabendo que divide tanto quanto , ele é um divisor comum. Agora, precisamos verificar se é o máximo divisor comum. Como é uma unidade até multiplicação por unidades ( ), e não há nenhum divisor maior que que divida ambos, concluímos que é o MDC desejado.

Resposta

O em é .

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