Calcule em Z[i]:
a)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o MDC (máximo divisor comum) de
e
no conjunto dos números de Gauss, que são da forma
onde
e
são inteiros. Isso envolve usar a teoria dos números de Gauss e o algoritmo de Euclides adaptado para esses números. Vamos precisar entender como dividir números de Gauss e verificar se um número é divisor de outro nesse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no conjunto dos números de Gauss, podemos fatorar números como fazemos com inteiros. O número
pode ser fatorado como
. Isso porque:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
divide
. Para isso, fazemos a divisão:
Como o resultado
pertence aos números de Gauss, isso confirma que
divide
.
Passo 4
Sabendo que
divide tanto
quanto
, ele é um divisor comum. Agora, precisamos verificar se é o máximo divisor comum. Como
é uma unidade até multiplicação por unidades (
), e não há nenhum divisor maior que
que divida ambos, concluímos que
é o MDC desejado.
Resposta
O
em
é
.