Considere o anel de inteiros de Gauss e o ideal . Mostre que
é um homomorfismo de anéis com unidade. Deduza que o anel quociente é isomorfo a .

Passo 1

Então, galera, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o anel dos inteiros de Gauss, que é , onde . E também temos um ideal , que basicamente é todos os múltiplos de dentro de . A gente precisa mostrar que a função , definida por , é um homomorfismo de anéis com unidade. Depois, deduzir que o anel quociente é isomorfo a . Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades de homomorfismos de anéis e como os anéis quocientes funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um homomorfismo de anéis com unidade. Basicamente, é uma função entre dois anéis que preserva as operações de adição e multiplicação e também mapeia o elemento identidade (1) do primeiro anel para o elemento identidade do segundo. Ou seja, para ser um homomorfismo de anéis com unidade, precisamos verificar três coisas:
  1. (preserva a adição)
  2. (preserva a multiplicação)
  3. (preserva a identidade)

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade: a adição. Seja e em . Então:
Por outro lado:
Então, , ou seja, a adição está preservada.

Passo 4

Agora, vamos ver a multiplicação. Calculando :
Então:
:
Como estamos em , , então:
Portanto, , ou seja, a multiplicação também está preservada.

Passo 5

Vamos verificar agora se a identidade é preservada. Sabemos que em , a identidade é . Então:
E em , a identidade também é . Assim, , preservando a identidade.

Passo 6

Como verificamos que preserva a adição, a multiplicação e a identidade, podemos concluir que é um homomorfismo de anéis com unidade.

Passo 7

Agora, vamos deduzir que o anel quociente é isomorfo a . Pelo Teorema do Isomorfismo de Anéis, sabemos que:
Primeiro, precisamos encontrar o núcleo de , ou seja, todos os elementos de que são mapeados para em :
Observando que , percebemos que é exatamente esse ideal .
Além disso, a imagem de é , já que para cada classe em , existe um elemento em que mapeia para ele.
Então, pelo teorema:

Resposta

O anel quociente é isomorfo a .

Exercícios relacionados

Seja uma matrix .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se Imagem , então tem solução para todo .
II - Se para algum o sistema tem infinitas soluções, então .
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Calcule em Z[i]:
b) .
Verifique se os seguintes conjuntos comas operações indicadas são anéis. Dos anéis, decida se é anel com unidade e se tem divisores de zero. Algum deles é corpo? Algum deles é anel de integridade?
a) , onde é o conjunto das matrizes quadradas de números reais, as operações de adição e multiplicação usuais de matrizes respectivamente.
Seja a transformação linear que satisfaz: e .
Determine a matriz tal que .
A entrada da matriz vale:
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
(I) Não sei