Considere o anel de inteiros de Gauss e o ideal . Mostre que
é um homomorfismo de anéis com unidade. Deduza que o anel quociente é isomorfo a .
Passo 1
Então, galera, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o anel dos inteiros de Gauss, que é , onde . E também temos um ideal , que basicamente é todos os múltiplos de dentro de . A gente precisa mostrar que a função , definida por , é um homomorfismo de anéis com unidade. Depois, deduzir que o anel quociente é isomorfo a . Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades de homomorfismos de anéis e como os anéis quocientes funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um homomorfismo de anéis com unidade. Basicamente, é uma função entre dois anéis que preserva as operações de adição e multiplicação e também mapeia o elemento identidade (1) do primeiro anel para o elemento identidade do segundo. Ou seja, para ser um homomorfismo de anéis com unidade, precisamos verificar três coisas:
(preserva a adição)
(preserva a multiplicação)
(preserva a identidade)
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade: a adição. Seja e em . Então:
Por outro lado:
Então, , ou seja, a adição está preservada.
Passo 4
Agora, vamos ver a multiplicação. Calculando :
Então:
Já :
Como estamos em , , então:
Portanto, , ou seja, a multiplicação também está preservada.
Passo 5
Vamos verificar agora se a identidade é preservada. Sabemos que em , a identidade é . Então:
E em , a identidade também é . Assim, , preservando a identidade.
Passo 6
Como verificamos que preserva a adição, a multiplicação e a identidade, podemos concluir que é um homomorfismo de anéis com unidade.
Passo 7
Agora, vamos deduzir que o anel quociente é isomorfo a . Pelo Teorema do Isomorfismo de Anéis, sabemos que:
Primeiro, precisamos encontrar o núcleo de , ou seja, todos os elementos de que são mapeados para em :
Observando que , percebemos que é exatamente esse ideal .
Além disso, a imagem de é , já que para cada classe em , existe um elemento em que mapeia para ele.