Considere o anel de inteiros de Gauss e o ideal . Mostre que
é um homomorfismo de anéis com unidade. Deduza que o anel quociente Z[i] / I é isomorfo a Z5.
Passo 1
Então, galera, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o anel dos inteiros de Gauss, que é , onde . E também temos um ideal , que basicamente é todos os múltiplos de dentro de . A gente precisa mostrar que a função , definida por , é um homomorfismo de anéis com unidade. Depois, deduzir que o anel quociente é isomorfo a . Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades de homomorfismos de anéis e como os anéis quocientes funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um homomorfismo de anéis com unidade. Basicamente, é uma função entre dois anéis que preserva as operações de adição e multiplicação e também mapeia o elemento identidade (1) do primeiro anel para o elemento identidade do segundo. Ou seja, para ser um homomorfismo de anéis com unidade, precisamos verificar três coisas:
(preserva a adição)
(preserva a multiplicação)
(preserva a identidade)
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade: a adição. Seja varphi(x + y) = varphi((a + c) + (b + d)i) = (a + c) + 2(b + d) = a + c + 2b + 2d e varphi(x) + varphi(y) = a + 2b + c + 2d = (a + 2b) + (c + 2d) = a + c + 2b + 2d em . Então:
Por outro lado:
Então, , ou seja, a adição está preservada.
Passo 4
Agora, vamos ver a multiplicação. Calculando xy = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i :
varphi(x) cdot varphi(y) = a + 2b cdot c + 2d = (a + 2b)(c + 2d) = ac + 2ad + 2bc + 4bd
Já ac + 2ad + 2bc + 4bd = ac + 2ad + 2bc - bd = ac - bd + 2ad + 2bc :
Como estamos em , , então:
Portanto, , ou seja, a multiplicação também está preservada.
Passo 5
Vamos verificar agora se a identidade é preservada. Sabemos que em varphi(1) = 1 + 2 cdot 0 = 1 = 1 , a identidade é . Então:
E em , a identidade também é . Assim, , preservando a identidade.
Passo 6
Como verificamos que preserva a adição, a multiplicação e a identidade, podemos concluir que é um homomorfismo de anéis com unidade.
Passo 7
Agora, vamos deduzir que o anel quociente Z[i]/ker(varphi) cong Im(varphi) é isomorfo a ker(varphi) = a + bi in Z[i] mid a + 2b = 0 em Z5 = a + bi mid a + 2b equiv 0 mod 5 . Pelo Teorema do Isomorfismo de Anéis, sabemos que:
Z[i]/I cong Z5
Primeiro, precisamos encontrar o núcleo de , ou seja, todos os elementos de que são mapeados para em :
Observando que , percebemos que é exatamente esse ideal .
Além disso, a imagem de é , já que para cada classe em , existe um elemento em que mapeia para ele.