Seja
uma matrix
.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se Imagem
, então
tem solução para todo
.
II - Se para algum
o sistema
tem infinitas soluções, então
.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se Imagem
II - Se para algum
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos uma matriz
de tamanho
. Precisamos analisar duas afirmações sobre
relacionadas a soluções de sistemas lineares e escolher qual das opções (A, B, C, D ou E) está correta. Para isso, vamos precisar entender conceitos de Imagem e Núcleo de uma matriz, que são partes essenciais da álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Imagem de
, que é o conjunto de todos os possíveis vetores
para os quais existe pelo menos uma solução
no sistema
. Se a Imagem de
for todo o espaço
, isso significa que para qualquer vetor
em
, sempre conseguiremos encontrar um
que resolve o sistema.
A primeira afirmação diz exatamente isso:
- I - Se Imagem
, então tem solução para todo .
Essa afirmação é verdadeira porque, se a Imagem cobre todo o espaço, não há
para o qual o sistema não tenha solução.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda afirmação. O Núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
tais que
. Se o Núcleo de
contém apenas o vetor zero, ou seja,
, isso significa que o sistema
só tem a solução trivial
.
A segunda afirmação é:
- II - Se para algum
o sistema tem infinitas soluções, então .
Vamos pensar nisso: se o sistema
tem infinitas soluções, isso quer dizer que há mais de um vetor
que resolve a equação. Isso ocorre quando existe pelo menos um vetor não trivial no Núcleo de
, ou seja,
NÃO é apenas o vetor zero. Logo, a afirmação II está falsa porque ela diz o contrário.
Passo 4
Com base nas análises:
- Afirmação I é verdadeira.
- Afirmação II é falsa.
Agora vamos verificar as opções:
- (A) Apenas II é verdadeira. ���
- (B) Apenas I é verdadeira. ✅
- © Todas são falsas. ❌
- (D) Todas são verdadeiras. ❌
- (E) Não sei. ❌
Resposta
(B) Apenas I é verdadeira.