Seja uma matrix .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se Imagem , então tem solução para todo .
II - Se para algum o sistema tem infinitas soluções, então .
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos uma matriz de tamanho . Precisamos analisar duas afirmações sobre relacionadas a soluções de sistemas lineares e escolher qual das opções (A, B, C, D ou E) está correta. Para isso, vamos precisar entender conceitos de Imagem e Núcleo de uma matriz, que são partes essenciais da álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Imagem de , que é o conjunto de todos os possíveis vetores para os quais existe pelo menos uma solução no sistema . Se a Imagem de for todo o espaço , isso significa que para qualquer vetor em , sempre conseguiremos encontrar um que resolve o sistema.
A primeira afirmação diz exatamente isso:
  • I - Se Imagem , então tem solução para todo .
Essa afirmação é verdadeira porque, se a Imagem cobre todo o espaço, não há para o qual o sistema não tenha solução.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda afirmação. O Núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores tais que . Se o Núcleo de contém apenas o vetor zero, ou seja, , isso significa que o sistema só tem a solução trivial .
A segunda afirmação é:
  • II - Se para algum o sistema tem infinitas soluções, então .
Vamos pensar nisso: se o sistema tem infinitas soluções, isso quer dizer que há mais de um vetor que resolve a equação. Isso ocorre quando existe pelo menos um vetor não trivial no Núcleo de , ou seja, NÃO é apenas o vetor zero. Logo, a afirmação II está falsa porque ela diz o contrário.

Passo 4

Com base nas análises:
  • Afirmação I é verdadeira.
  • Afirmação II é falsa.
Agora vamos verificar as opções:
  • (A) Apenas II é verdadeira. ���
  • (B) Apenas I é verdadeira. ✅
  • © Todas são falsas. ❌
  • (D) Todas são verdadeiras. ❌
  • (E) Não sei. ❌

Resposta

(B) Apenas I é verdadeira.

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