São dados u=2 i+j-3 k e v=i+2 j+k. b. Determine o cosseno do ângulo que u forma com v.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra vetorial que pede para encontrar o cosseno do ângulo entre dois vetores, u=2 i+j-3 k e v=i+2 j+k. Para isso, vamos precisar usar o produto escalar e a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre os vetores u e v. O produto escalar é calculado multiplicando os componentes correspondentes dos vetores e somando esses resultados. A fórmula é:
u cdot v = ux vx + uy vy + uz vz

Passo 3

Vamos identificar os componentes de cada vetor:
  • Para u=2 i+j-3 k:
    • ux = 2
    • uy = 1
    • uz = -3
  • Para v=i+2 j+k:
    • vx = 1
    • vy = 2
    • vz = 1
Agora, substituímos na fórmula do produto escalar:
u cdot v = (2)(1) + (1)(2) + (-3)(1) = 2 + 2 - 3 = 1

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular os módulos (ou comprimentos) dos vetores u e v. A fórmula para o módulo de um vetor a=ax i + ay j + az k é:
|a| = raizax^2 + ay^2 + az^2

Passo 5

Vamos calcular os módulos dos vetores:
  • Para u:
    |u| = raiz2^2 + 1^2 + (-3)^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14
  • Para v:
    |v| = raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6

Passo 6

Agora, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre os vetores:
costheta = u cdot v|u| cdot |v|
Substituindo os valores que encontramos:
costheta = 1raiz14 cdot raiz6 = 1raiz84 = 12raiz21

Resposta

O cosseno do ângulo entre u e v é dfrac12raiz21.

Exercícios relacionados