Calcule em Z[i]:
c) lang<= 2 irang<= caplang<= 3+irang<=.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a interseção dos ideais gerados por e no conjunto dos inteiros gaussianos, que a gente representa por . Ou seja, queremos achar todos os elementos que estão tanto no ideal quanto no ideal . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre ideais em anéis, especificamente em , e como encontrar elementos comuns entre esses dois conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal gerado por um elemento em lang<= a rang<= = a cdot b | b in Z[i] . O ideal gerado por um elemento é o conjunto de todos os múltiplos de por elementos de . Ou seja,
Então, é o conjunto de todos os múltiplos de e é o conjunto de todos os múltiplos de .

Passo 3

Para encontrar a interseção z = 2i cdot a = (3 + i) cdot b , buscamos os elementos que podem ser escritos tanto como múltiplos de quanto como múltiplos de . Em outras palavras, estamos procurando tal que exista com:
Isso significa que .

Passo 4

Para resolver essa igualdade, podemos considerar dividir ambos os lados por 2i3 + i cdot a = b . Isso nos dá:
Queremos que seja um elemento de , então precisamos que também seja um elemento de , ou seja, que seja um número gaussiano.

Passo 5

Vamos simplificar 2i3 + i cdot 3 - i3 - i = 2i(3 - i)(3)^2 + (1)^2 = 6i - 2i^210 = 6i - 2(-1)10 = 6i + 210 = 2 + 6i10 = 1 + 3i5 multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador para racionalizar:
Então, . Para que seja um inteiro gaussiano, deve multiplicar e resultar em um inteiro gaussiano, o que implica que deve ser múltiplo de .

Passo 6

Isso quer dizer que z = 2i cdot 5k = 10i cdot k para algum . Substituindo de volta na expressão , temos:
Portanto, todos os elementos da interseção são múltiplos de .

Resposta

lang<= 2i rang<= cap lang<= 3 + i rang<= = lang<= 10i rang<=

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