Calcule em Z[i]:
c) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a interseção dos ideais gerados por e no conjunto dos inteiros gaussianos, que a gente representa por . Ou seja, queremos achar todos os elementos que estão tanto no ideal quanto no ideal . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre ideais em anéis, especificamente em , e como encontrar elementos comuns entre esses dois conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal gerado por um elemento em . O ideal gerado por um elemento é o conjunto de todos os múltiplos de por elementos de . Ou seja,
Então, é o conjunto de todos os múltiplos de e é o conjunto de todos os múltiplos de .

Passo 3

Para encontrar a interseção , buscamos os elementos que podem ser escritos tanto como múltiplos de quanto como múltiplos de . Em outras palavras, estamos procurando tal que exista com:
Isso significa que .

Passo 4

Para resolver essa igualdade, podemos considerar dividir ambos os lados por . Isso nos dá:
Queremos que seja um elemento de , então precisamos que também seja um elemento de , ou seja, que seja um número gaussiano.

Passo 5

Vamos simplificar multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador para racionalizar:
Então, . Para que seja um inteiro gaussiano, deve multiplicar e resultar em um inteiro gaussiano, o que implica que deve ser múltiplo de .

Passo 6

Isso quer dizer que para algum . Substituindo de volta na expressão , temos:
Portanto, todos os elementos da interseção são múltiplos de .

Resposta

Exercícios relacionados

Sejam
Calcule , a projeção ortogonal de sobre .
O valor de , a entrada de , é:
Dica: Projete em . Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
(I) Não sei
Questão (4,5 pontos) Considere o operador linear escrito na base canônica
b-Determine os autovetores deste operador. ( 1,0 ponto)
Sejam dados o conjunto de pontos . Encontre a função que melhor se ajusta no sentindo de mínimos quadrados aos pontos dados.
é tal que e Imagem . Se , calcule a matriz . Assinale abaixo o valor da entrada :
(A) 5
(B) 6
© 7
(D) 8
(E) 9
(F) 10
(G) 11
(H) 12
(I) Não sei