Calcule em Z[i]:
c)
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a interseção dos ideais gerados por
e
no conjunto dos inteiros gaussianos, que a gente representa por
. Ou seja, queremos achar todos os elementos que estão tanto no ideal
quanto no ideal
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre ideais em anéis, especificamente em
, e como encontrar elementos comuns entre esses dois conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal gerado por um elemento em
. O ideal
gerado por um elemento
é o conjunto de todos os múltiplos de
por elementos de
. Ou seja,
Então,
é o conjunto de todos os múltiplos de
e
é o conjunto de todos os múltiplos de
.
Passo 3
Para encontrar a interseção
, buscamos os elementos que podem ser escritos tanto como múltiplos de
quanto como múltiplos de
. Em outras palavras, estamos procurando
tal que exista
com:
Isso significa que
.
Passo 4
Para resolver essa igualdade, podemos considerar dividir ambos os lados por
. Isso nos dá:
Queremos que
seja um elemento de
, então precisamos que
também seja um elemento de
, ou seja, que
seja um número gaussiano.
Passo 5
Vamos simplificar
multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador para racionalizar:
Então,
. Para que
seja um inteiro gaussiano,
deve multiplicar
e resultar em um inteiro gaussiano, o que implica que
deve ser múltiplo de
.
Passo 6
Isso quer dizer que
para algum
. Substituindo de volta na expressão
, temos:
Portanto, todos os elementos da interseção
são múltiplos de
.