Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a interseção dos ideais gerados por e no conjunto dos inteiros gaussianos, que a gente representa por . Ou seja, queremos achar todos os elementos que estão tanto no ideal quanto no ideal . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre ideais em anéis, especificamente em , e como encontrar elementos comuns entre esses dois conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal gerado por um elemento em . O ideal gerado por um elemento é o conjunto de todos os múltiplos de por elementos de . Ou seja,
Então, é o conjunto de todos os múltiplos de e é o conjunto de todos os múltiplos de .
Passo 3
Para encontrar a interseção , buscamos os elementos que podem ser escritos tanto como múltiplos de quanto como múltiplos de . Em outras palavras, estamos procurando tal que exista com:
Isso significa que .
Passo 4
Para resolver essa igualdade, podemos considerar dividir ambos os lados por . Isso nos dá:
Queremos que seja um elemento de , então precisamos que também seja um elemento de , ou seja, que seja um número gaussiano.
Passo 5
Vamos simplificar multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador para racionalizar:
Então, . Para que seja um inteiro gaussiano, deve multiplicar e resultar em um inteiro gaussiano, o que implica que deve ser múltiplo de .
Passo 6
Isso quer dizer que para algum . Substituindo de volta na expressão , temos:
Portanto, todos os elementos da interseção são múltiplos de .