Questão (4,5 pontos) Considere o operador linear escrito na base canônica
b-Determine os autovetores deste operador. ( 1,0 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear. O que a gente tem aqui é uma matriz que representa um operador linear na base canônica. Nosso foco é encontrar os autovetores desse operador. Para isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores, além de saber como resolver equações matriciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Um vetor v é autovetor de uma matriz T se, ao aplicar T em v, o resultado for um múltiplo de v. Matematicamente, isso é escrito como:
Aqui, λ é o autovalor correspondente ao autovetor v.
Passo 3
Para encontrar os autovetores, precisamos primeiro encontrar os autovalores λ. Isso é feito resolvendo a equação característica:
onde I é a matriz identidade de mesma ordem que T.
Passo 4
Vamos montar a matriz :
Passo 5
Agora, calculamos o determinante dessa matriz. Observando que a matriz é triangular em bloco, podemos calcular o determinante como o produto dos determinantes dos blocos diagonais:
Passo 6
Calculando os determinantes dos blocos:
Para o primeiro bloco:
Para o segundo bloco, já que é triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
Passo 7
Juntando tudo, a equação característica fica:
Resolvendo cada fator:
→ ou
→
→
→
Passo 8
Agora que temos os autovalores , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles resolvendo .
Passo 9
Vamos fazer isso para cada autovalor:
Para :
Resolvemos e encontramos que o autovetor correspondente é .
Para :
Resolvemos e encontramos que o autovetor correspondente é .
Para :
Resolvemos e encontramos que o autovetor correspondente é .
Para :
Resolvemos e encontramos que o autovetor correspondente é .
Para :
Resolvemos e encontramos que o autovetor correspondente é .