1^a Questão (4,5 pontos) Considere o operador linear escrito na base canônica
TC=[ccccc 2 & 1 & 0 & 0 & 0 3 & 4 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & -1 & -3 0 & 0 & 0 & 2 & -2 0 & 0 & 0 & 0 & -1 ]
b-Determine os autovetores deste operador. ( 1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear. O que a gente tem aqui é uma matriz que representa um operador linear na base canônica. Nosso foco é encontrar os autovetores desse operador. Para isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores, além de saber como resolver equações matriciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Um vetor v é autovetor de uma matriz T se, ao aplicar T em v, o resultado for um múltiplo de v. Matematicamente, isso é escrito como:
Tv = lambda v
Aqui, λ é o autovalor correspondente ao autovetor v.

Passo 3

Para encontrar os autovetores, precisamos primeiro encontrar os autovalores λ. Isso é feito resolvendo a equação característica:
det(T - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade de mesma ordem que T.

Passo 4

Vamos montar a matriz T - lambda I = 2 - lambda & 1 & 0 & 0 & 0 3 & 4 - lambda & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 3 - lambda & -1 & -3 0 & 0 & 0 & 2 - lambda & -2 0 & 0 & 0 & 0 & -1 - lambda :

Passo 5

Agora, calculamos o determinante dessa matriz. Observando que a matriz é triangular em bloco, podemos calcular o determinante como o produto dos determinantes dos blocos diagonais:
det(T - lambda I) = det 2 - lambda & 1 3 & 4 - lambda times det 3 - lambda & -1 & -3 0 & 2 - lambda & -2 0 & 0 & -1 - lambda

Passo 6

Calculando os determinantes dos blocos:
Para o primeiro bloco:
det 2 - lambda & 1 3 & 4 - lambda = (2 - lambda)(4 - lambda) - 3 times 1 = lambda^2 - 6lambda + 5
Para o segundo bloco, já que é triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
det 3 - lambda & -1 & -3 0 & 2 - lambda & -2 0 & 0 & -1 - lambda = (3 - lambda)(2 - lambda)(-1 - lambda)

Passo 7

Juntando tudo, a equação característica fica:
(lambda^2 - 6lambda + 5) times (3 - lambda)(2 - lambda)(-1 - lambda) = 0
Resolvendo cada fator:
  1. ou

Passo 8

Agora que temos os autovalores , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles resolvendo .

Passo 9

Vamos fazer isso para cada autovalor:
  • Para -1 1 0 0 0 :
    Resolvemos -1 1 1 1 0 e encontramos que o autovetor correspondente é 0 0 1 0 0 .
  • Para 1 1 0 0 0 :
    Resolvemos 0 0 0 1 1 e encontramos que o autovetor correspondente é .
  • Para :
    Resolvemos e encontramos que o autovetor correspondente é .
  • Para :
    Resolvemos e encontramos que o autovetor correspondente é .
  • Para :
    Resolvemos e encontramos que o autovetor correspondente é .

Resposta

Os autovetores do operador v1 = -1 1 0 0 0 , v2 = -1 1 1 1 0 , v3 = 0 0 1 0 0 , v4 = 1 1 0 0 0 , v5 = 0 0 0 1 1 são:

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