Questão (4,5 pontos) Considere o operador linear escrito na base canônica
b-Determine os autovetores deste operador. ( 1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear. O que a gente tem aqui é uma matriz que representa um operador linear na base canônica. Nosso foco é encontrar os autovetores desse operador. Para isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores, além de saber como resolver equações matriciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Um vetor v é autovetor de uma matriz T se, ao aplicar T em v, o resultado for um múltiplo de v. Matematicamente, isso é escrito como:
Aqui, λ é o autovalor correspondente ao autovetor v.

Passo 3

Para encontrar os autovetores, precisamos primeiro encontrar os autovalores λ. Isso é feito resolvendo a equação característica:
onde I é a matriz identidade de mesma ordem que T.

Passo 4

Vamos montar a matriz :

Passo 5

Agora, calculamos o determinante dessa matriz. Observando que a matriz é triangular em bloco, podemos calcular o determinante como o produto dos determinantes dos blocos diagonais:

Passo 6

Calculando os determinantes dos blocos:
Para o primeiro bloco:
Para o segundo bloco, já que é triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:

Passo 7

Juntando tudo, a equação característica fica:
Resolvendo cada fator:
  1. ou

Passo 8

Agora que temos os autovalores , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles resolvendo .

Passo 9

Vamos fazer isso para cada autovalor:
  • Para :
    Resolvemos e encontramos que o autovetor correspondente é .
  • Para :
    Resolvemos e encontramos que o autovetor correspondente é .
  • Para :
    Resolvemos e encontramos que o autovetor correspondente é .
  • Para :
    Resolvemos e encontramos que o autovetor correspondente é .
  • Para :
    Resolvemos e encontramos que o autovetor correspondente é .

Resposta

Os autovetores do operador são:

Exercícios relacionados

O sistema abaixo não tem solução. Encontre a melhor aproximação no sentido dos Mínimos Quadrados:
Questão (4,5 pontos) Considere o operador linear escrito na base canônica
a-Determine os autovalores deste operador. (1,0 ponto)
Sejam
Calcule , a projeção ortogonal de sobre .
O valor de , a entrada de , é:
Dica: Projete em . Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
(I) Não sei
Calcule em Z[i]:
c) .