Sejam dados o conjunto de pontos (-0,35,0,2),(0,15,-0,5),(0,23,-0,54),(0,35,0,7). Encontre a função f(x)=a 1+a 2 x que melhor se ajusta no sentindo de mínimos quadrados aos pontos dados.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de pontos: (-0,35, 0,2), (0,15, -0,5), (0,23, -0,54) e (0,35, 0,7). O objetivo é encontrar a função linear f(x) = a1 + a2 x que melhor se ajusta a esses pontos usando o método dos mínimos quadrados. Isso faz parte do estudo de regressão linear na área de estatística e álgebra linear.

Passo 2

Para resolver isso, precisamos usar o método dos mínimos quadrados, que nos ajuda a encontrar a linha que minimiza a soma dos quadrados das diferenças verticais entre os pontos dados e a linha de regressão. Vamos precisar calcular algumas somas dos valores de x, y, x^2 e x cdot y.

Passo 3

Vamos organizar os pontos para facilitar os cálculos:
x y x^2 x cdot y
-0,35 0,2 0,1225 -0,07
0,15 -0,5 0,0225 -0,075
0,23 -0,54 0,0529 -0,1242
0,35 0,7 0,1225 0,245

Passo 4

Agora, vamos calcular as somas necessárias:
  • Soma de x: -0,35 + 0,15 + 0,23 + 0,35 = 0,38
  • Soma de y: 0,2 + (-0,5) + (-0,54) + 0,7 = -0,14
  • Soma de x^2: 0,1225 + 0,0225 + 0,0529 + 0,1225 = 0,3204
  • Soma de x cdot y: -0,07 + (-0,075) + (-0,1242) + 0,245 = -0,0242

Passo 5

Com essas somas, podemos usar as fórmulas dos mínimos quadrados para encontrar a1 e a2:
a2 = n sumx y - sumx sumyn sumx^2 - (sumx)^2
a1 = sumy - a2 sumxn
Onde n é o número de pontos, que aqui é 4.

Passo 6

Vamos substituir os valores nas fórmulas:
a2 = 4 times (-0,0242) - 0,38 times (-0,14)4 times 0,3204 - (0,38)^2
Calculando o numerador:
4 times (-0,0242) = -0,0968
0,38 times (-0,14) = -0,0532
-0,0968 - (-0,0532) = -0,0968 + 0,0532 = -0,0436
Calculando o denominador:
4 times 0,3204 = 1,2816
(0,38)^2 = 0,1444
1,2816 - 0,1444 = 1,1372
Então,
a2 = -0,04361,1372 approx -0,0383

Passo 7

Agora, vamos calcular a1:
a1 = -0,14 - (-0,0383) times 0,384
Primeiro, calculamos a2 times sumx:
-0,0383 times 0,38 approx -0,0145
Então,
a1 = -0,14 - (-0,0145)4 = -0,14 + 0,01454 = -0,12554 approx -0,0314

Resposta

A função que melhor se ajusta aos pontos dados pelo método dos mínimos quadrados é:
f(x) = -0,0314 - 0,0383,x

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