Sejam
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
(I) Não sei
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
(I) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor
e um subespaço
definido por
. Nosso objetivo é encontrar a projeção ortogonal de
sobre
, ou seja, encontrar
, e descobrir o valor de
, que é a terceira entrada de
.
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria vetorial, especificamente a projeção ortogonal em um subespaço. Isso envolve entender como decompor um vetor em componentes paralelas e perpendiculares ao subespaço
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma projeção ortogonal. Quando projetamos um vetor
em um subespaço
, estamos basicamente encontrando o vetor
que é o mais próximo possível de
. Matematicamente, isso significa que a diferença
é perpendicular a todo vetor em
.
No nosso caso,
é definido pela equação
. Podemos pensar nisso como sendo os vetores que satisfazem essa equação.
Passo 3
A dica do exercício sugere projetar
em
, que é o complemento ortogonal de
. O complemento ortogonal
consiste em todos os vetores que são perpendiculares a
.
Para encontrar a projeção
, podemos primeiro encontrar a projeção de
em
e depois subtrair essa projeção de
. Assim:
Passo 4
Vamos encontrar agora um vetor que gera
. Como
é definido por uma única equação linear,
será gerado por um vetor normal a
. O vetor normal pode ser extraído dos coeficientes da equação de
.
A equação de
é
, então o vetor normal é
.
Passo 5
A próxima etapa é calcular a projeção de
em
. A fórmula para a projeção de um vetor
em
é:
Vamos aplicar isso para
e
.
Passo 6
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Em seguida, calculamos
:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula da projeção:
Passo 8
Finalmente, para encontrar
, subtraímos a projeção de
em
da própria
:
Resposta
O valor de
é 3 (alternativa C).