Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor e um subespaço definido por . Nosso objetivo é encontrar a projeção ortogonal de sobre , ou seja, encontrar , e descobrir o valor de , que é a terceira entrada de .
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria vetorial, especificamente a projeção ortogonal em um subespaço. Isso envolve entender como decompor um vetor em componentes paralelas e perpendiculares ao subespaço .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma projeção ortogonal. Quando projetamos um vetor em um subespaço , estamos basicamente encontrando o vetor que é o mais próximo possível de . Matematicamente, isso significa que a diferença é perpendicular a todo vetor em .
No nosso caso, é definido pela equação . Podemos pensar nisso como sendo os vetores que satisfazem essa equação.
Passo 3
A dica do exercício sugere projetar em , que é o complemento ortogonal de . O complemento ortogonal consiste em todos os vetores que são perpendiculares a .
Para encontrar a projeção , podemos primeiro encontrar a projeção de em e depois subtrair essa projeção de . Assim:
Passo 4
Vamos encontrar agora um vetor que gera . Como é definido por uma única equação linear, será gerado por um vetor normal a . O vetor normal pode ser extraído dos coeficientes da equação de .
A equação de é , então o vetor normal é .
Passo 5
A próxima etapa é calcular a projeção de em . A fórmula para a projeção de um vetor em é:
Vamos aplicar isso para e .
Passo 6
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Em seguida, calculamos :
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula da projeção:
Passo 8
Finalmente, para encontrar , subtraímos a projeção de em da própria :