Sejam v=(4,-6,9,5) e
H=(x, y, z, w) in R^4 mid x-3 y+2 z+w=0
Calcule w=PH v, a projeção ortogonal de v sobre H.
O valor de w3, a 3^ a entrada de w, é:
Dica: Projete v em H^perp. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor v = (4, -6, 9, 5) e um subespaço H definido por H = (x, y, z, w) in R^4 mid x - 3y + 2z + w = 0. Nosso objetivo é encontrar a projeção ortogonal de v sobre H, ou seja, encontrar w = PH v, e descobrir o valor de w3, que é a terceira entrada de w.
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria vetorial, especificamente a projeção ortogonal em um subespaço. Isso envolve entender como decompor um vetor em componentes paralelas e perpendiculares ao subespaço H.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma projeção ortogonal. Quando projetamos um vetor v em um subespaço H, estamos basicamente encontrando o vetor w in H que é o mais próximo possível de v. Matematicamente, isso significa que a diferença v - w é perpendicular a todo vetor em H.
No nosso caso, H é definido pela equação x - 3y + 2z + w = 0. Podemos pensar nisso como sendo os vetores que satisfazem essa equação.

Passo 3

A dica do exercício sugere projetar v em H^perp, que é o complemento ortogonal de H. O complemento ortogonal H^perp consiste em todos os vetores que são perpendiculares a H.
Para encontrar a projeção w, podemos primeiro encontrar a projeção de v em H^perp e depois subtrair essa projeção de v. Assim:
w = v - Projeção de v em H^perp çã

Passo 4

Vamos encontrar agora um vetor que gera H^perp. Como H é definido por uma única equação linear, H^perp será gerado por um vetor normal a H. O vetor normal pode ser extraído dos coeficientes da equação de H.
A equação de H é x - 3y + 2z + w = 0, então o vetor normal é n = (1, -3, 2, 1).

Passo 5

A próxima etapa é calcular a projeção de v em n. A fórmula para a projeção de um vetor a em b é:
Projeçãob a = ( a cdot bb cdot b ) b çã
Vamos aplicar isso para v = (4, -6, 9, 5) e n = (1, -3, 2, 1).

Passo 6

Primeiro, calculamos o produto escalar v cdot n:
v cdot n = (4)(1) + (-6)(-3) + (9)(2) + (5)(1) = 4 + 18 + 18 + 5 = 45
Em seguida, calculamos n cdot n:
n cdot n = (1)^2 + (-3)^2 + (2)^2 + (1)^2 = 1 + 9 + 4 + 1 = 15

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da projeção:
Projeçãon v = ( 4515 ) n = 3 cdot (1, -3, 2, 1) = (3, -9, 6, 3) çã

Passo 8

Finalmente, para encontrar w = PH v, subtraímos a projeção de v em H^perp da própria v:
w = v - Projeçãon v = (4, -6, 9, 5) - (3, -9, 6, 3) = (4-3, -6-(-9), 9-6, 5-3) = (1, 3, 3, 2) çã

Resposta

O valor de w3 é 3 (alternativa C).

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