Sejam
Calcule , a projeção ortogonal de sobre .
O valor de , a entrada de , é:
Dica: Projete em . Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor e um subespaço definido por . Nosso objetivo é encontrar a projeção ortogonal de sobre , ou seja, encontrar , e descobrir o valor de , que é a terceira entrada de .
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria vetorial, especificamente a projeção ortogonal em um subespaço. Isso envolve entender como decompor um vetor em componentes paralelas e perpendiculares ao subespaço .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma projeção ortogonal. Quando projetamos um vetor em um subespaço , estamos basicamente encontrando o vetor que é o mais próximo possível de . Matematicamente, isso significa que a diferença é perpendicular a todo vetor em .
No nosso caso, é definido pela equação . Podemos pensar nisso como sendo os vetores que satisfazem essa equação.

Passo 3

A dica do exercício sugere projetar em , que é o complemento ortogonal de . O complemento ortogonal consiste em todos os vetores que são perpendiculares a .
Para encontrar a projeção , podemos primeiro encontrar a projeção de em e depois subtrair essa projeção de . Assim:
çã

Passo 4

Vamos encontrar agora um vetor que gera . Como é definido por uma única equação linear, será gerado por um vetor normal a . O vetor normal pode ser extraído dos coeficientes da equação de .
A equação de é , então o vetor normal é .

Passo 5

A próxima etapa é calcular a projeção de em . A fórmula para a projeção de um vetor em é:
çã
Vamos aplicar isso para e .

Passo 6

Primeiro, calculamos o produto escalar :
Em seguida, calculamos :

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da projeção:
çã

Passo 8

Finalmente, para encontrar , subtraímos a projeção de em da própria :
çã

Resposta

O valor de é 3 (alternativa C).

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Questão (4,5 pontos) Considere o operador linear escrito na base canônica
b-Determine os autovetores deste operador. ( 1,0 ponto)
O sistema abaixo não tem solução. Encontre a melhor aproximação no sentido dos Mínimos Quadrados:
Calcule em Z[i]:
c) .
Sejam dados o conjunto de pontos . Encontre a função que melhor se ajusta no sentindo de mínimos quadrados aos pontos dados.