Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz de tamanho com algumas informações específicas sobre seu núcleo () e imagem (). Além disso, sabemos que a entrada . Nosso objetivo é descobrir o valor da entrada dessa matriz. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a espaços vetoriais, núcleo e imagem de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o núcleo de é o conjunto gerado pelos vetores e . O núcleo de uma matriz consiste em todos os vetores tais que . Ou seja:
Essas equações nos darão relações entre os elementos de .
Passo 3
Vamos chamar os elementos da matriz assim:
Sabemos que , então já temos uma entrada.
Passo 4
Aplicando a primeira condição do núcleo:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo as equações:
=>
=>
=>
Até agora, sabemos que , e .
Passo 6
Agora, aplicando a segunda condição do núcleo:
Isso nos dá:
Passo 7
Resolvendo essas equações:
=>
Sabemos que , então substituindo:
=> => =>
Sabemos que , então substituindo:
=> => =>
Passo 8
Até agora, temos:
Agora, vamos usar a informação sobre a imagem de .
Passo 9
A imagem de é o conjunto dos vetores que pode gerar, que no caso é o espaço gerado por . Isto significa que todas as colunas de são múltiplos desse vetor.
Então, cada coluna de é proporcional a :
Passo 10
Vamos resolver para cada coluna:
Primeira coluna:
Segunda coluna:
Terceira coluna:
Passo 11
Agora, substituindo os valores encontrados:
Resposta
O valor da entrada é 9. Portanto, a resposta correta é a opção (E) 9.