é tal que e Imagem . Se , calcule a matriz . Assinale abaixo o valor da entrada :
(A) 5
(B) 6
© 7
(D) 8
(E) 9
(F) 10
(G) 11
(H) 12
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz de tamanho com algumas informações específicas sobre seu núcleo ( ) e imagem ( ). Além disso, sabemos que a entrada . Nosso objetivo é descobrir o valor da entrada dessa matriz. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a espaços vetoriais, núcleo e imagem de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o núcleo de é o conjunto gerado pelos vetores e . O núcleo de uma matriz consiste em todos os vetores tais que . Ou seja:
Essas equações nos darão relações entre os elementos de .

Passo 3

Vamos chamar os elementos da matriz assim:
Sabemos que , então já temos uma entrada.

Passo 4

Aplicando a primeira condição do núcleo:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo as equações:
  1. =>
  2. =>
  3. =>
Até agora, sabemos que , e .

Passo 6

Agora, aplicando a segunda condição do núcleo:
Isso nos dá:

Passo 7

Resolvendo essas equações:
  1. =>
  2. Sabemos que , então substituindo:
    => => =>
  3. Sabemos que , então substituindo:
    => => =>

Passo 8

Até agora, temos:
Agora, vamos usar a informação sobre a imagem de .

Passo 9

A imagem de é o conjunto dos vetores que pode gerar, que no caso é o espaço gerado por . Isto significa que todas as colunas de são múltiplos desse vetor.
Então, cada coluna de é proporcional a :

Passo 10

Vamos resolver para cada coluna:
  1. Primeira coluna:
  1. Segunda coluna:
  1. Terceira coluna:

Passo 11

Agora, substituindo os valores encontrados:

Resposta

O valor da entrada é 9. Portanto, a resposta correta é a opção (E) 9.

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Sejam dados o conjunto de pontos . Encontre a função que melhor se ajusta no sentindo de mínimos quadrados aos pontos dados.
Calcule em Z[i]:
c) .
Calcule em Z[i]:
a) .
São dados . b. Determine o cosseno do ângulo que forma com .