A3 times 3 é tal que Ker A=span(1,2,0),(3,0,-2) e Imagem A=span(3,-1,1). Se a11=-18, calcule a matriz A. Assinale abaixo o valor da entrada a23 :
(A) 5
(B) 6
© 7
(D) 8
(E) 9
(F) 10
(G) 11
(H) 12
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz de tamanho com algumas informações específicas sobre seu núcleo ( ) e imagem ( ). Além disso, sabemos que a entrada . Nosso objetivo é descobrir o valor da entrada dessa matriz. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a espaços vetoriais, núcleo e imagem de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o núcleo de A 1 2 0 = 0 0 0 e A 3 0 -2 = 0 0 0 é o conjunto gerado pelos vetores e . O núcleo de uma matriz consiste em todos os vetores tais que . Ou seja:
Essas equações nos darão relações entre os elementos de .

Passo 3

Vamos chamar os elementos da matriz A = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 assim:
Sabemos que , então já temos uma entrada.

Passo 4

Aplicando a primeira condição do núcleo:
A 1 2 0 = -18 cdot 1 + a12 cdot 2 + a13 cdot 0 a21 cdot 1 + a22 cdot 2 + a23 cdot 0 a31 cdot 1 + a32 cdot 2 + a33 cdot 0 = 0 0 0
Isso nos dá o sistema de equações:
-18 + 2a12 = 0 a21 + 2a22 = 0 a31 + 2a32 = 0

Passo 5

Resolvendo as equações:
  1. =>
  2. =>
  3. =>
Até agora, sabemos que , e .

Passo 6

Agora, aplicando a segunda condição do núcleo:
A 3 0 -2 = -18 cdot 3 + a12 cdot 0 + a13 cdot (-2) a21 cdot 3 + a22 cdot 0 + a23 cdot (-2) a31 cdot 3 + a32 cdot 0 + a33 cdot (-2) = 0 0 0
Isso nos dá:
-54 - 2a13 = 0 3a21 - 2a23 = 0 3a31 - 2a33 = 0

Passo 7

Resolvendo essas equações:
  1. =>
  2. Sabemos que , então substituindo:
    => => =>
  3. Sabemos que , então substituindo:
    => => =>

Passo 8

Até agora, temos:
A = -18 & 9 & -27 -2a22 & a22 & -3a22 -2a32 & a32 & -3a32
Agora, vamos usar a informação sobre a imagem de .

Passo 9

A imagem de -18 -2a22 -2a32 = k1 3 -1 1 , 9 a22 a32 = k2 3 -1 1 , -27 -3a22 -3a32 = k3 3 -1 1 é o conjunto dos vetores que pode gerar, que no caso é o espaço gerado por . Isto significa que todas as colunas de são múltiplos desse vetor.
Então, cada coluna de é proporcional a :

Passo 10

Vamos resolver para cada coluna:
  1. Primeira coluna:
-18 = 3k1 Rightarrow k1 = -6 -2a22 = -1 cdot k1 = 6 Rightarrow a22 = -3 -2a32 = 1 cdot k1 = -6 Rightarrow a32 = 3
  1. Segunda coluna:
9 = 3k2 Rightarrow k2 = 3 a22 = -1 cdot k2 = -3 (confirma com o valor anterior) a32 = 1 cdot k2 = 3 (confirma com o valor anterior)
  1. Terceira coluna:
-27 = 3k3 Rightarrow k3 = -9 -3a22 = -1 cdot k3 = 9 Rightarrow a22 = -3 (confirma) -3a32 = 1 cdot k3 = -9 Rightarrow a32 = 3 (confirma)

Passo 11

Agora, substituindo os valores encontrados:
a22 = -3 a23 = -3a22 = -3(-3) = 9 a32 = 3 a33 = -3a32 = -9

Resposta

O valor da entrada é 9. Portanto, a resposta correta é a opção (E) 9.

Exercícios relacionados