Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz de tamanho com algumas informações específicas sobre seu núcleo () e imagem (). Além disso, sabemos que a entrada . Nosso objetivo é descobrir o valor da entrada dessa matriz. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a espaços vetoriais, núcleo e imagem de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o núcleo de é o conjunto gerado pelos vetores e . O núcleo de uma matriz consiste em todos os vetores tais que . Ou seja:
Essas equações nos darão relações entre os elementos de .
Passo 3
Vamos chamar os elementos da matriz A = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 assim:
Agora, vamos usar a informação sobre a imagem de .
Passo 9
A imagem de -18 -2a22 -2a32 = k1 3 -1 1 , 9 a22 a32 = k2 3 -1 1 , -27 -3a22 -3a32 = k3 3 -1 1 é o conjunto dos vetores que pode gerar, que no caso é o espaço gerado por . Isto significa que todas as colunas de são múltiplos desse vetor.