Calcule
e
no ponto
, sabendo que
.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular
e
no ponto
, dado que a equação é
. Isso envolve derivadas parciais e a regra da cadeia, que são partes da matéria de Cálculo Diferencial. Vamos precisar usar a diferenciação implícita para encontrar essas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é uma função de
e
, isto é,
. Queremos encontrar como
muda em relação a
e a
, mantendo a equação original verdadeira.
Passo 3
Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como constante. Assim, temos:
Simplificando as derivadas:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
:
Isolando
:
Passo 5
Vamos calcular
no ponto
. Substituindo
e
na expressão:
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para
. Diferenciando a equação original em relação a
:
Simplificando as derivadas:
Passo 7
Agrupando os termos com
:
Isolando
:
Passo 8
Calculando
no ponto
. Substituindo
e
:
Resposta
No ponto
, temos:
Exercícios relacionados
Questão: A Lei de Boyle para a dilatação do gás é
, onde
é o número de newtons por unidade quadrada de área,
é o número de unidades cúbicas do volume do gás e
é uma constante. Num certo instante, a pressão é
e o volume é
e está aumentando a uma taxa de
. Encontre a taxa de variação da pressão nesse momento.
Se
é uma função diferenciável, mostre que
.
Volume de sólidos de revolução
Tomando como base a região delimitada pelo gráfico de uma dada função , no intervalo
, pode-se construir um sólido
, pela rotação dessa região em torno do eixo
. Represente esse procedimento no espaço mais exatamente, e justifique, fazendo uso de uma soma de Riemann, porque o volume do sólido (de revoluçao) gerado é dado pela integral
Tomando como base a região delimitada pelo gráfico de uma dada função
Note que se pode pensar no símbolo
como uma idealização do
-
, no intervalo (Esfera de raio ); -
, no intervalo (Cone de altura e raio ); -
, no intervalo (4. , no intervalo ; - Rotação da região entre
e , no intervalo [0,1] (Sólido vazado).
Questão: A receita anual de vendas pela internet é dada aproximadamente pela função
onde
é medida em bilhões de dólares e
é medido em anos, com
correspondendo ao início de 1997.
(a) Qual foi a receita anual de vendas pela internet no início de 1999? E no início do ano 2000?
(a) Qual foi a receita anual de vendas pela internet no início de 1999? E no início do ano 2000?