Calcule zx e zy no ponto P:(1, 1, 1), sabendo que x^2 + y^2 - 2 z^2 + 12 x - 8 z - 4 = 0.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular e no ponto , dado que a equação é . Isso envolve derivadas parciais e a regra da cadeia, que são partes da matéria de Cálculo Diferencial. Vamos precisar usar a diferenciação implícita para encontrar essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é uma função de e , isto é, . Queremos encontrar como muda em relação a e a , mantendo a equação original verdadeira.

Passo 3

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a , tratando como constante. Assim, temos:
Simplificando as derivadas:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos que contêm :
Isolando :

Passo 5

Vamos calcular no ponto . Substituindo e na expressão:

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para . Diferenciando a equação original em relação a :
Simplificando as derivadas:

Passo 7

Agrupando os termos com :
Isolando :

Passo 8

Calculando no ponto . Substituindo e :

Resposta

No ponto , temos:

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