Se é uma função diferenciável, mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se é uma função diferenciável de e , então . Vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais e a regra da cadeia, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que depende de duas variáveis, que são e . Ou seja, podemos escrever . Para encontrar as derivadas parciais e , vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções que dependem de outras funções.

Passo 3

Vamos calcular usando a regra da cadeia. A derivada parcial de em relação a é:
Agora, vamos calcular e .

Passo 4

Calculando :
E calculando :
Então, substituindo de volta na expressão de :

Passo 5

Agora, vamos calcular da mesma forma, aplicando a regra da cadeia:
Calculando e :
Substituindo na expressão de :

Passo 6

Agora, vamos formar a combinação :

Passo 7

Somando e :
Simplificando os termos:

Passo 8

Lembrando que e , vemos que:
Portanto:

Resposta

Assim, demonstramos que .

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Calcule e no ponto , sabendo que .