Se
é uma função diferenciável, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se
é uma função diferenciável de
e
, então
. Vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais e a regra da cadeia, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
depende de duas variáveis, que são
e
. Ou seja, podemos escrever
. Para encontrar as derivadas parciais
e
, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções que dependem de outras funções.
Passo 3
Vamos calcular
usando a regra da cadeia. A derivada parcial de
em relação a
é:
Agora, vamos calcular
e
.
Passo 4
Calculando
:
E calculando
:
Então, substituindo de volta na expressão de
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
da mesma forma, aplicando a regra da cadeia:
Calculando
e
:
Substituindo na expressão de
:
Passo 6
Agora, vamos formar a combinação
:
Passo 7
Somando
e
:
Simplificando os termos:
Passo 8
Lembrando que
e
, vemos que:
Portanto:
Resposta
Assim, demonstramos que
.
Exercícios relacionados
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
, no ponto
e use-a para obter um valor aproximado para
.
Questão: A Lei de Boyle para a dilatação do gás é
, onde
é o número de newtons por unidade quadrada de área,
é o número de unidades cúbicas do volume do gás e
é uma constante. Num certo instante, a pressão é
e o volume é
e está aumentando a uma taxa de
. Encontre a taxa de variação da pressão nesse momento.
Calcule
e
no ponto
, sabendo que
.