Volume de sólidos de revolução
Tomando como base a região delimitada pelo gráfico de uma dada função
, no intervalo
, pode-se construir um sólido
, pela rotação dessa região em torno do eixo
. Represente esse procedimento no espaço mais exatamente, e justifique, fazendo uso de uma soma de Riemann, porque o volume do sólido (de revoluçao) gerado é dado pela integral
Note que se pode pensar no símbolo
como uma idealização do
-
, no intervalo
(Esfera de raio
);
-
, no intervalo
(Cone de altura
e raio
);
-
, no intervalo
(4.
, no intervalo
;
- Rotação da região entre
e
, no intervalo [0,1] (Sólido vazado).
Tomando como base a região delimitada pelo gráfico de uma dada função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como calcular o volume de um sólido que a gente cria girando uma região em torno do eixo
. A gente vai usar o conceito de sólidos de revolução, que é um assunto de Cálculo, mais especificamente de integrais. Pra resolver isso, vamos precisar entender como dividir a região em fatias fininhas (como se fossem discos) e depois somar os volumes desses discos usando uma soma de Riemann, que é uma maneira de aproximar integrais.
Passo 2
Primeiro, imagina que a gente tem uma função
que define a borda da região que vai girar. Essa região está entre
e
no eixo
. Quando a gente gira essa região ao redor do eixo
, forma um sólido. Para visualizar melhor, pensa em uma fatia bem fininha dessa região, próximo a um valor
qualquer entre
e
.
Passo 3
Cada uma dessas fatias fininhas, quando girada, vira um disco circular. A espessura desse disco é um pequeno pedaço do eixo
, que a gente chama de
. O raio desse disco é dado por
, porque é a distância do eixo
até a curva
.
Passo 4
Agora, pra calcular o volume de cada disco, usamos a fórmula da área do círculo multiplicada pela espessura
. A área de um círculo é
, então o volume de um disco é:
Esse
representa o volume de um disco muito pequeno.
Passo 5
Para encontrar o volume total do sólido, a gente soma os volumes de todos esses discos desde
até
. Essa soma é exatamente o que chamamos de soma de Riemann. Quando a gente faz essa soma para fatias infinitamente finas (ou seja, quando
tende a zero), a soma se transforma em uma integral.
Resposta
Então, o volume do sólido
gerado pela rotação da região em torno do eixo
é dado por: