Volume de sólidos de revolução
Tomando como base a região delimitada pelo gráfico de uma dada função f(x), no intervalo a <= x <= b, pode-se construir um sólido S, pela rotação dessa região em torno do eixo 0 x. Represente esse procedimento no espaço mais exatamente, e justifique, fazendo uso de uma soma de Riemann, porque o volume do sólido (de revoluçao) gerado é dado pela integral
volume(S)=integrala^b pi f(x)^2 d x
Note que se pode pensar no símbolo pi f(x)^2 d x como uma idealização do
  1. f(x)=raizR^2-x^2, no intervalo [-R, R] (Esfera de raio R );
  2. f(x)=a x, no intervalo [0, h] (Cone de altura h e raio R=h a );
  3. f(x)=1 / x, no intervalo [1, b] (4. f(x)=sen x, no intervalo [0,2 pi];
  4. Rotação da região entre f(x)=raizx e g(x)=x^2+1, no intervalo [0,1] (Sólido vazado).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como calcular o volume de um sólido que a gente cria girando uma região em torno do eixo . A gente vai usar o conceito de sólidos de revolução, que é um assunto de Cálculo, mais especificamente de integrais. Pra resolver isso, vamos precisar entender como dividir a região em fatias fininhas (como se fossem discos) e depois somar os volumes desses discos usando uma soma de Riemann, que é uma maneira de aproximar integrais.

Passo 2

Primeiro, imagina que a gente tem uma função que define a borda da região que vai girar. Essa região está entre e no eixo . Quando a gente gira essa região ao redor do eixo , forma um sólido. Para visualizar melhor, pensa em uma fatia bem fininha dessa região, próximo a um valor qualquer entre e .

Passo 3

Cada uma dessas fatias fininhas, quando girada, vira um disco circular. A espessura desse disco é um pequeno pedaço do eixo , que a gente chama de . O raio desse disco é dado por , porque é a distância do eixo até a curva .

Passo 4

Agora, pra calcular o volume de cada disco, usamos a fórmula da área do círculo multiplicada pela espessura pi [f(x)]^2 , dx . A área de um círculo é , então o volume de um disco é:
Esse representa o volume de um disco muito pequeno.

Passo 5

Para encontrar o volume total do sólido, a gente soma os volumes de todos esses discos desde até . Essa soma é exatamente o que chamamos de soma de Riemann. Quando a gente faz essa soma para fatias infinitamente finas (ou seja, quando tende a zero), a soma se transforma em uma integral.

Resposta

Então, o volume do sólido volume(S) = integrala^b pi [f(x)]^2 , dx gerado pela rotação da região em torno do eixo é dado por:

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