Questão: A Lei de Boyle para a dilatação do gás é , onde é o número de newtons por unidade quadrada de área, é o número de unidades cúbicas do volume do gás e é uma constante. Num certo instante, a pressão é e o volume é e está aumentando a uma taxa de . Encontre a taxa de variação da pressão nesse momento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que trata da Lei de Boyle, que diz que o produto da pressão ( ) pelo volume ( ) de um gás é constante, ou seja, . O problema nos dá a pressão, o volume e a taxa de variação do volume, e pede para encontrar como a pressão está mudando nesse momento. Para resolver, vamos precisar usar o cálculo diferencial, mais especificamente, derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da Lei de Boyle:
Como a constante não muda com o tempo, podemos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo ( ):
Isso resulta em:

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar , que é a taxa de variação da pressão. Vamos isolar na equação:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores fornecidos no problema:
  • Pressão ( ) = 3000 N/m²
  • Volume ( ) = 5 m³
  • Taxa de variação do volume ( ) = 3 m³/min
Substituindo na equação:

Resposta

A pressão está diminuindo a uma taxa de 1800 N/m² por minuto nesse momento.

Exercícios relacionados

Se é uma função diferenciável, mostre que .
Calcule e no ponto , sabendo que .
Volume de sólidos de revolução
Tomando como base a região delimitada pelo gráfico de uma dada função , no intervalo , pode-se construir um sólido , pela rotação dessa região em torno do eixo . Represente esse procedimento no espaço mais exatamente, e justifique, fazendo uso de uma soma de Riemann, porque o volume do sólido (de revoluçao) gerado é dado pela integral
Note que se pode pensar no símbolo como uma idealização do
  1. , no intervalo (Esfera de raio );
  2. , no intervalo (Cone de altura e raio );
  3. , no intervalo (4. , no intervalo ;
  4. Rotação da região entre e , no intervalo [0,1] (Sólido vazado).