Questão: A Lei de Boyle para a dilatação do gás é P V = C, onde P é o número de newtons por unidade quadrada de área, V é o número de unidades cúbicas do volume do gás e C é uma constante. Num certo instante, a pressão é 3000 N / m^2 M e o volume é 5 m^3 e está aumentando a uma taxa de 3 m^3/min. Encontre a taxa de variação da pressão nesse momento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que trata da Lei de Boyle, que diz que o produto da pressão ( P) pelo volume ( V) de um gás é constante, ou seja, . O problema nos dá a pressão, o volume e a taxa de variação do volume, e pede para encontrar como a pressão está mudando nesse momento. Para resolver, vamos precisar usar o cálculo diferencial, mais especificamente, derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da Lei de Boyle:
Como a constante C não muda com o tempo, podemos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo ( t):
Isso resulta em:

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar , que é a taxa de variação da pressão. Vamos isolar na equação:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores fornecidos no problema:
  • Pressão ( P) = 3000 N/m²
  • Volume ( V) = 5 m³
  • Taxa de variação do volume ( ) = 3 m³/min
Substituindo na equação:

Resposta

A pressão está diminuindo a uma taxa de 1800 N/m² por minuto nesse momento.

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