Questão: A Lei de Boyle para a dilatação do gás é
, onde
é o número de newtons por unidade quadrada de área,
é o número de unidades cúbicas do volume do gás e
é uma constante. Num certo instante, a pressão é
e o volume é
e está aumentando a uma taxa de
. Encontre a taxa de variação da pressão nesse momento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que trata da Lei de Boyle, que diz que o produto da pressão (
) pelo volume (
) de um gás é constante, ou seja,
. O problema nos dá a pressão, o volume e a taxa de variação do volume, e pede para encontrar como a pressão está mudando nesse momento. Para resolver, vamos precisar usar o cálculo diferencial, mais especificamente, derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação da Lei de Boyle:
Como a constante
não muda com o tempo, podemos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo (
):
Isso resulta em:
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar
, que é a taxa de variação da pressão. Vamos isolar
na equação:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores fornecidos no problema:
- Pressão (
) = 3000 N/m² - Volume (
) = 5 m³ - Taxa de variação do volume (
) = 3 m³/min
Substituindo na equação:
Resposta
A pressão está diminuindo a uma taxa de 1800 N/m² por minuto nesse momento.
Exercícios relacionados
Se
é uma função diferenciável, mostre que
.
Calcule
e
no ponto
, sabendo que
.
Volume de sólidos de revolução
Tomando como base a região delimitada pelo gráfico de uma dada função , no intervalo
, pode-se construir um sólido
, pela rotação dessa região em torno do eixo
. Represente esse procedimento no espaço mais exatamente, e justifique, fazendo uso de uma soma de Riemann, porque o volume do sólido (de revoluçao) gerado é dado pela integral
Tomando como base a região delimitada pelo gráfico de uma dada função
Note que se pode pensar no símbolo
como uma idealização do
-
, no intervalo (Esfera de raio ); -
, no intervalo (Cone de altura e raio ); -
, no intervalo (4. , no intervalo ; - Rotação da região entre
e , no intervalo [0,1] (Sólido vazado).