lim t 0[sen(2 t)t t i+(ln (t+1)) j].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um limite quando se aproxima de 0 para uma expressão vetorial que envolve funções trigonométricas e logarítmicas. Então, vamos precisar saber sobre limites, seno e logaritmo natural. Nosso objetivo é simplificar essa expressão e encontrar o valor final desse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão completa:
lim t 0[sin(2 t)t cdot t , i + ln (t+1) , j]
Vamos simplificar cada parte separadamente para facilitar.

Passo 3

Vamos simplificar o termo com seno:
sin(2t)t cdot t = sin(2t)
Isso porque os lim t 0[sin(2t) , i + ln (t+1) , j] se cancelam. Agora a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de cada componente separadamente.
Para o componente lim t 0 sin(2t) = sin(0) = 0 :
lim t 0 ln(t+1) = ln(1) = 0
Isso porque o seno de 0 é 0.
Para o componente :
Já que o logaritmo natural de 1 é 0.

Passo 5

Agora que temos os limites de cada componente, podemos juntar tudo de volta na expressão vetorial:
0 , i + 0 , j = 0

Resposta

O limite da expressão é o vetor nulo:
0

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