Calcules as áreas das regiões planas delimitadas por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as áreas das regiões delimitadas pelas curvas
e
. Vamos usar o conteúdo de cálculo integral para encontrar essas áreas. Precisaremos identificar onde as duas curvas se encontram e depois integrar a diferença entre elas nesses intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Então, as curvas se encontram nos pontos
,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos saber qual das duas funções está acima da outra em cada intervalo determinado pelos pontos de interseção. Vamos analisar um valor de
em cada intervalo:
-
Para
entre e : - Escolha
: Aqui, está acima de .
- Escolha
-
Para
ou , cresce mais rápido que , mas como nossos pontos de interseção estão entre e , focaremos nesses intervalos.
Passo 4
Vamos calcular a área entre
e
onde
está acima de
. A fórmula para a área entre duas curvas é:
Aqui,
e
, e os limites de integração são
e
.
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Como a função é par (simétrica em relação ao eixo y), podemos simplificar calculando de 0 a 1 e multiplicando por 2:
Integrando termo a termo:
Calculando de 0 a 1:
Multiplicando por 2:
Resposta
A área das regiões delimitadas pelas curvas
e
é
unidades de área.