Calcules as áreas das regiões planas delimitadas por:
y = x^2, y = x^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as áreas das regiões delimitadas pelas curvas e . Vamos usar o conteúdo de cálculo integral para encontrar essas áreas. Precisaremos identificar onde as duas curvas se encontram e depois integrar a diferença entre elas nesses intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Então, as curvas se encontram nos pontos , e .

Passo 3

Agora, precisamos saber qual das duas funções está acima da outra em cada intervalo determinado pelos pontos de interseção. Vamos analisar um valor de em cada intervalo:
  • Para entre e :
    • Escolha : Aqui, está acima de .
  • Para ou , cresce mais rápido que , mas como nossos pontos de interseção estão entre e , focaremos nesses intervalos.

Passo 4

Vamos calcular a área entre e onde está acima de . A fórmula para a área entre duas curvas é:
Aqui, e , e os limites de integração são e .

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Como a função é par (simétrica em relação ao eixo y), podemos simplificar calculando de 0 a 1 e multiplicando por 2:
Integrando termo a termo:
Calculando de 0 a 1:
Multiplicando por 2:

Resposta

A área das regiões delimitadas pelas curvas e é unidades de área.

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