Calcules as áreas das regiões planas delimitadas por:
y = x^2, y = x^4
x = y^2 - 2, x = 6 - y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as áreas das regiões delimitadas por duas pares de curvas:
  1. Primeiro par de curvas:
    Aqui, estamos lidando com funções polinomiais, especificamente parabólicas. Vamos precisar encontrar onde essas curvas se encontram para saber os limites de integração.
  2. Segundo par de curvas:
    Essas são curvas que envolvem y ao quadrado, então vamos tratar de encontrar suas interseções para determinar a área entre elas.

Passo 2

Primeiro par de curvas: e
Vamos começar encontrando os pontos de interseção dessas duas curvas. Igualamos as duas equações:
Subtraindo x^2 de ambos os lados:
Isso nos dá as soluções:
Então, as curvas se intersectam em . Agora, vamos calcular a área entre e x = 1.

Passo 3

Sabemos que está acima de nesse intervalo. A fórmula para a área entre duas curvas é:
Á
Aplicando isso aqui:
Á
Devido à simetria das funções, podemos calcular de 0 a 1 e dobrar o resultado:
Á

Passo 4

Vamos calcular a integral:
Avaliado de 0 a 1:
Então, multiplicando por :
Á

Passo 5

Segundo par de curvas: e
Primeiro, encontramos os pontos de interseção igualando as duas equações:
Somando y^2 e adicionando em ambos os lados:
Então, as curvas se intersectam em e . Agora, vamos calcular a área entre esses valores.

Passo 6

A área entre duas curvas em termos de y é:
Á
Aqui, e . Então:
Á
Devido à simetria, podemos calcular de 0 a e dobrar:
Á

Passo 7

Calculando a integral:
Avaliado de 0 a :
Multiplicando por :
Á

Resposta

As áreas das regiões delimitadas são:
  • Entre as curvas e : unidades de área.
  • Entre as curvas e : 64/3 unidades de área.

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