Calcules as áreas das regiões planas delimitadas por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as áreas das regiões delimitadas por duas pares de curvas:
-
Primeiro par de curvas:Aqui, estamos lidando com funções polinomiais, especificamente parabólicas. Vamos precisar encontrar onde essas curvas se encontram para saber os limites de integração.
-
Segundo par de curvas:Essas são curvas que envolvem
ao quadrado, então vamos tratar de encontrar suas interseções para determinar a área entre elas.
Passo 2
Primeiro par de curvas:
e
Vamos começar encontrando os pontos de interseção dessas duas curvas. Igualamos as duas equações:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso nos dá as soluções:
Então, as curvas se intersectam em
. Agora, vamos calcular a área entre
e
.
Passo 3
Sabemos que
está acima de
nesse intervalo. A fórmula para a área entre duas curvas é:
Aplicando isso aqui:
Devido à simetria das funções, podemos calcular de
a
e dobrar o resultado:
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Avaliado de
a
:
Então, multiplicando por
:
Passo 5
Segundo par de curvas:
e
Primeiro, encontramos os pontos de interseção igualando as duas equações:
Somando
e adicionando
em ambos os lados:
Então, as curvas se intersectam em
e
. Agora, vamos calcular a área entre esses valores.
Passo 6
A área entre duas curvas em termos de
é:
Aqui,
e
. Então:
Devido à simetria, podemos calcular de
a
e dobrar:
Passo 7
Calculando a integral:
Avaliado de
a
:
Multiplicando por
:
Resposta
As áreas das regiões delimitadas são:
- Entre as curvas
e : unidades de área. - Entre as curvas
e : unidades de área.