Encontre uma parametrização para a curva que representa a interseção das superfícies:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar uma parametrização para a curva que é a interseção das duas superfícies dadas pelas equações e . Isso envolve entender como as duas superfícies se cruzam no espaço tridimensional e expressar os pontos dessa interseção em termos de um parâmetro, que pode ser uma variável como .
Passo 2
Primeiro, já que ambas as equações são iguais a , podemos igualar as duas expressões para simplificar:
Isso nos dá uma equação que relaciona e na curva de interseção.
Passo 3
Para tirar a raiz quadrada da equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado. Lembrando que, ao fazer isso, precisamos ter cuidado para não introduzir soluções falsas, mas nesse caso tudo bem:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa equação. Subtraindo de ambos os lados, ficamos com:
Essa expressão relaciona e de forma mais direta e já nos ajuda a parametrizar a curva.
Passo 5
Vamos isolar nessa equação para facilitar a parametrização:
Agora temos em termos de .
Passo 6
Para parametrizar a curva, a gente escolhe uma variável para ser o parâmetro. Aqui, vamos usar e definir . Assim, podemos expressar e em função de :
Passo 7
Agora, vamos encontrar usando uma das equações originais. Vamos usar :
Pronto! Agora temos todas as coordenadas em função de .