Encontre uma parametrização para a curva que representa a interseção das superfícies:
z = raiz(x^2 + y^2) e z = 1 + y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar uma parametrização para a curva que é a interseção das duas superfícies dadas pelas equações e . Isso envolve entender como as duas superfícies se cruzam no espaço tridimensional e expressar os pontos dessa interseção em termos de um parâmetro, que pode ser uma variável como .

Passo 2

Primeiro, já que ambas as equações são iguais a , podemos igualar as duas expressões para simplificar:
Isso nos dá uma equação que relaciona e na curva de interseção.

Passo 3

Para tirar a raiz quadrada da equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado. Lembrando que, ao fazer isso, precisamos ter cuidado para não introduzir soluções falsas, mas nesse caso tudo bem:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação. Subtraindo de ambos os lados, ficamos com:
Essa expressão relaciona e de forma mais direta e já nos ajuda a parametrizar a curva.

Passo 5

Vamos isolar nessa equação para facilitar a parametrização:
Agora temos em termos de .

Passo 6

Para parametrizar a curva, a gente escolhe uma variável para ser o parâmetro. Aqui, vamos usar e definir . Assim, podemos expressar e em função de :

Passo 7

Agora, vamos encontrar usando uma das equações originais. Vamos usar :
Pronto! Agora temos todas as coordenadas em função de .

Resposta

A parametrização da curva de interseção é:
onde é o parâmetro.

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