Encontre uma parametrização para a curva que representa a interseção das superfícies:
z = y^2 e x + y = 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma parametrização para a curva que é a interseção de duas superfícies: e . Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica no Espaço. Para resolver, vamos precisar entender como expressar as coordenadas , e em função de um parâmetro, que geralmente chamamos de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as duas equações dadas:
  1. — essa equação representa uma superfície parabólica.
  2. — essa é a equação de um plano.
A interseção dessas duas superfícies será uma curva no espaço tridimensional.

Passo 3

Para parametrizar essa curva, vamos escolher um dos eixos como nosso parâmetro. Aqui, é mais fácil escolher como parâmetro. Vamos chamar , onde é o nosso parâmetro.

Passo 4

Com , podemos expressar as outras coordenadas em função de :
  • Da segunda equação , substituindo por , temos .
  • Da primeira equação , substituindo por , obtemos .

Passo 5

Agora, juntando tudo, nossa parametrização fica assim:

Resposta

A parametrização da curva de interseção é:
onde é o parâmetro real.

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