Encontre uma parametrização para a curva que representa a interseção das superfícies: e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma parametrização para a curva que é a interseção de duas superfícies: e . Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica no Espaço. Para resolver, vamos precisar entender como expressar as coordenadas , e em função de um parâmetro, que geralmente chamamos de .
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as duas equações dadas:
— essa equação representa uma superfície parabólica.
— essa é a equação de um plano.
A interseção dessas duas superfícies será uma curva no espaço tridimensional.
Passo 3
Para parametrizar essa curva, vamos escolher um dos eixos como nosso parâmetro. Aqui, é mais fácil escolher como parâmetro. Vamos chamar , onde é o nosso parâmetro.
Passo 4
Com , podemos expressar as outras coordenadas em função de :
Da segunda equação , substituindo por , temos .
Da primeira equação , substituindo por , obtemos .
Passo 5
Agora, juntando tudo, nossa parametrização fica assim: