Verifique que a função y1(t) = t é solução da EDO t^2 y'' - 2 t y' + 2 y = 0, depois encontre um conjunto fundamental de soluções para a EDO.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial ordinária (EDO) dada por e precisa verificar se a função é uma solução dessa EDO. Depois disso, vamos encontrar um conjunto fundamental de soluções para essa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, como derivadas e métodos para encontrar soluções de EDOs.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente satisfaz a EDO. Para isso, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de .
A função é:
Vamos calcular a primeira derivada :
Agora, a segunda derivada :

Passo 3

Agora que temos e , vamos substituir esses valores na EDO para verificar se a função é realmente uma solução.
Substituindo na EDO:
Como a expressão resultou em zero, confirmamos que é, de fato, uma solução da EDO.

Passo 4

Agora, vamos encontrar um segundo solução para a EDO, de modo que juntas formem um conjunto fundamental de soluções. Para uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis como essa, podemos usar o método de redução de ordem.
Sabemos que uma solução é . Vamos supor que a segunda solução seja da forma:
Nosso objetivo é encontrar a função . Primeiro, vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora, substituímos , e na EDO original:
Vamos simplificar isso:
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):
Integrando :
Como estamos procurando uma solução particular, podemos escolher e , portanto:
Assim, a segunda solução é:

Resposta

Um conjunto fundamental de soluções para a EDO é .

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