Verifique que a função
é solução da EDO
, depois encontre um conjunto fundamental de soluções para a EDO.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial ordinária (EDO) dada por
e precisa verificar se a função
é uma solução dessa EDO. Depois disso, vamos encontrar um conjunto fundamental de soluções para essa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, como derivadas e métodos para encontrar soluções de EDOs.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
realmente satisfaz a EDO. Para isso, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de
.
A função é:
Vamos calcular a primeira derivada
:
Agora, a segunda derivada
:
Passo 3
Agora que temos
e
, vamos substituir esses valores na EDO para verificar se a função é realmente uma solução.
Substituindo na EDO:
Como a expressão resultou em zero, confirmamos que
é, de fato, uma solução da EDO.
Passo 4
Agora, vamos encontrar um segundo solução para a EDO, de modo que juntas formem um conjunto fundamental de soluções. Para uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis como essa, podemos usar o método de redução de ordem.
Sabemos que uma solução é
. Vamos supor que a segunda solução seja da forma:
Nosso objetivo é encontrar a função
. Primeiro, vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora, substituímos
,
e
na EDO original:
Vamos simplificar isso:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Integrando
:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos escolher
e
, portanto:
Assim, a segunda solução é:
Resposta
Um conjunto fundamental de soluções para a EDO é
.