f(x)=ccc x+2 & se & x<-2 1 & se & x=-2 -x-2 & se & -20
(a) Faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de funções por partes. A questão pede para a gente fazer um esboço do gráfico da função definida de diferentes maneiras dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e depois juntar tudo num único gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada segmento da função . A função está definida por diferentes expressões para intervalos específicos de . Vamos ver cada caso separadamente:
  1. Para :
    A função é . Isso é uma reta com inclinação 1 e intercepto no ponto (0, 2). Mas como estamos considerando apenas , vamos desenhar essa reta até .
  2. Para :
    Aqui, a função vale . Isso significa que no ponto , tem o valor 1, independentemente do que a expressão anterior diz.
  3. Para :
    A função é . Isso também é uma reta, mas com inclinação -1 e intercepto em (0, -2). Vamos desenhar essa reta do até .
  4. Para :
    Aqui, . Isso é uma linha horizontal constante no valor -1, entre e .
  5. Para :
    A função vale . No ponto , é 0.
  6. Para :
    Finalmente, . Isso é outra linha horizontal constante no valor 1, para todos os maiores que 0.

Passo 3

Agora que entendemos cada parte, vamos desenhar o gráfico passo a passo:
  • Para :
    Desenhe a reta . Por exemplo, se , . Faça isso para alguns valores menores que -2 e trace a reta até , mas sem incluir .
  • Para :
    Coloque um ponto aberto na reta anterior em e desenhe um ponto fechado em , já que .
  • Para :
    Desenhe a reta . Por exemplo, para , . Essa reta vai de (com o ponto fechado em ) até .
  • Para :
    Desenhe uma linha horizontal constante em , entre e . Use círculos abertos nos extremos para indicar que e não estão incluídos aqui.
  • Para :
    Coloque um ponto fechado em .
  • Para :
    Desenhe uma linha horizontal constante em , a partir de para frente.

Passo 4

Vamos juntar tudo isso num único gráfico:
  • Começamos com a reta para , indo até perto de .
  • No ponto , temos um salto para .
  • Daí, a reta vai de até .
  • Em seguida, há uma linha horizontal em de até .
  • No ponto , .
  • Finalmente, para , a função fica constante em .

Resposta

O esboço do gráfico de é uma combinação de retas e linhas horizontais que mudam de acordo com os intervalos de . Ele apresenta segmentos inclinados para e , linhas horizontais em e , e pontos específicos em e . O gráfico mostra saltos (discontinuidades) nos pontos onde a definição da função muda.

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