Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de funções por partes. A questão pede para a gente fazer um esboço do gráfico da função definida de diferentes maneiras dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e depois juntar tudo num único gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada segmento da função . A função está definida por diferentes expressões para intervalos específicos de . Vamos ver cada caso separadamente:
Para :
A função é . Isso é uma reta com inclinação 1 e intercepto no ponto (0, 2). Mas como estamos considerando apenas , vamos desenhar essa reta até .
Para :
Aqui, a função vale . Isso significa que no ponto , tem o valor 1, independentemente do que a expressão anterior diz.
Para :
A função é . Isso também é uma reta, mas com inclinação -1 e intercepto em (0, -2). Vamos desenhar essa reta do até .
Para :
Aqui, . Isso é uma linha horizontal constante no valor -1, entre e .
Para :
A função vale . No ponto , é 0.
Para :
Finalmente, . Isso é outra linha horizontal constante no valor 1, para todos os maiores que 0.
Passo 3
Agora que entendemos cada parte, vamos desenhar o gráfico passo a passo:
Para :
Desenhe a reta . Por exemplo, se , . Faça isso para alguns valores menores que -2 e trace a reta até , mas sem incluir .
Para :
Coloque um ponto aberto na reta anterior em e desenhe um ponto fechado em , já que .
Para :
Desenhe a reta . Por exemplo, para , . Essa reta vai de (com o ponto fechado em ) até .
Para :
Desenhe uma linha horizontal constante em , entre e . Use círculos abertos nos extremos para indicar que e não estão incluídos aqui.
Para :
Coloque um ponto fechado em .
Para :
Desenhe uma linha horizontal constante em , a partir de para frente.
Passo 4
Vamos juntar tudo isso num único gráfico:
Começamos com a reta para , indo até perto de .
No ponto , temos um salto para .
Daí, a reta vai de até .
Em seguida, há uma linha horizontal em de até .
No ponto , .
Finalmente, para , a função fica constante em .
Resposta
O esboço do gráfico de é uma combinação de retas e linhas horizontais que mudam de acordo com os intervalos de . Ele apresenta segmentos inclinados para e , linhas horizontais em e , e pontos específicos em e . O gráfico mostra saltos (discontinuidades) nos pontos onde a definição da função muda.