Calcules as integrais ao longo da curva dada
Calcule integralC x d s ao longo do primeiro octante da curva que resulta da interseção do cilindro x^2+y^2=a^2 e o plano z=x
Sol. a^22[raiz2+ln (1+raiz2)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral ao longo de uma curva específica. Essa curva é a interseção do cilindro com o plano no primeiro octante (onde , e são positivos). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva x = a cos theta, y = a sin theta . Ela está no primeiro octante e é a interseção do cilindro z = a cos theta com o plano . Para parametrizar essa curva, podemos usar um parâmetro , onde:
Como , então:
Como estamos no primeiro octante, varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dxdtheta = -a sin theta, dydtheta = a cos theta, dzdtheta = -a sin theta , que é o elemento de comprimento da curva. Para isso, derivamos ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 + (dzdtheta)^2 , dtheta , ds = raiz(-a sin theta)^2 + (a cos theta)^2 + (-a sin theta)^2 , dtheta = raiza^2 sin^2 theta + a^2 cos^2 theta + a^2 sin^2 theta = raiza^2 (sin^2 theta + cos^2 theta + sin^2 theta) = raiza^2 (1 + sin^2 theta) = a raiz1 + sin^2 theta , dtheta e em relação a :
Então, é dado por:
Vamos calcular isso:

Passo 4

Agora, substituímos integralC x , ds = integral0^pi2 a cos theta cdot a raiz1 + sin^2 theta , dtheta = a^2 integral0^pi2 cos theta raiz1 + sin^2 theta , dtheta e na integral:

Passo 5

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos definir:
u = sin theta Rightarrow du = cos theta , dtheta
Quando a^2 integral0^1 raiz1 + u^2 , du , ; e quando , . Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, precisamos calcular u2 raiz1 + u^2 + 12 ln (u + raiz1 + u^2) + C . A integral de a^2 [ u2 raiz1 + u^2 + 12 ln (u + raiz1 + u^2) ]0^1 é:
Aplicando os limites de integração:

Passo 7

Calculando nos limites:
Para 12 raiz2 + 12 ln (1 + raiz2) :
0 + 12 ln (0 + 1) = 0
Para a^2 ( raiz22 + 12 ln (1 + raiz2) ) = a^22 ( raiz2 + ln (1 + raiz2) ) :
Então, a integral fica:

Resposta

a^22[raiz2+ln (1+raiz2)]

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