Calcules as integrais ao longo da curva dada
Calcule
ao longo do primeiro octante da curva que resulta da interseção do cilindro
e o plano
Sol.
Calcule
Sol.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral
ao longo de uma curva específica. Essa curva é a interseção do cilindro
com o plano
no primeiro octante (onde
,
e
são positivos). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela está no primeiro octante e é a interseção do cilindro
com o plano
. Para parametrizar essa curva, podemos usar um parâmetro
, onde:
Como
, então:
Como estamos no primeiro octante,
varia de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
, que é o elemento de comprimento da curva. Para isso, derivamos
,
e
em relação a
:
Então,
é dado por:
Vamos calcular isso:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral:
Passo 5
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos definir:
Quando
,
; e quando
,
. Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, precisamos calcular
. A integral de
é:
Aplicando os limites de integração:
Passo 7
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então, a integral fica: