Calcules as integrais ao longo da curva dada
, onde
é a curva descrita pelo vetor
, no intervalo
Sol.
Sol.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral da função
ao longo da curva
. A curva
é definida pelo vetor posição:
no intervalo
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo de integrais de linha em curvas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar a integral
em termos da variável
. Aqui,
representa um elemento de comprimento ao longo da curva
.
Para isso, vamos encontrar a derivada do vetor posição
em relação a
, que nos dará a velocidade vetorial:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o módulo dessa velocidade vetorial para obter
:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então,
Passo 5
Agora, podemos escrever a integral
em termos de
:
Passo 6
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar
, então
. Quando
,
e quando
,
.
Substituindo:
Passo 7
Agora, fazemos outra substituição:
, então
, ou seja,
.
A integral fica:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Resposta
A integral ao longo da curva
é: