Calcules as integrais ao longo da curva dada
integralC z d s, onde C é a curva descrita pelo vetor r(t)=a cos t i+a sin ^2 t j+a cos t k, no intervalo 0 <= t <= pi / 2
Sol. a2(raiz2+ln (1+raiz2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral da função r(t) = a cos t , i + a sin^2 t , j + a cos t , k ao longo da curva . A curva é definida pelo vetor posição:
no intervalo . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo de integrais de linha em curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a integral r'(t) = drdt = -a sin t , i + 2a sin t cos t , j - a sin t , k em termos da variável . Aqui, representa um elemento de comprimento ao longo da curva .
Para isso, vamos encontrar a derivada do vetor posição em relação a , que nos dará a velocidade vetorial:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o módulo dessa velocidade vetorial para obter |r'(t)| = raiz(-a sin t)^2 + (2a sin t cos t)^2 + (-a sin t)^2 :
|r'(t)| = raiza^2 sin^2 t + 4a^2 sin^2 t cos^2 t + a^2 sin^2 t
|r'(t)| = a raiz2 sin^2 t + 4 sin^2 t cos^2 t

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da raiz:
2 sin^2 t + 4 sin^2 t cos^2 t = 2 sin^2 t (1 + 2 cos^2 t)
Então,
|r'(t)| = a raiz2 sin^2 t (1 + 2 cos^2 t) = a raiz2 sin t raiz1 + 2 cos^2 t

Passo 5

Agora, podemos escrever a integral integral0^pi2 z(t) , |r'(t)| , dt = integral0^pi2 a cos t cdot a raiz2 sin t raiz1 + 2 cos^2 t , dt em termos de = a^2 raiz2 integral0^pi2 sin t cos t raiz1 + 2 cos^2 t , dt :

Passo 6

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar a^2 raiz2 integral1^0 (-u) raiz1 + 2u^2 , du = a^2 raiz2 integral0^1 u raiz1 + 2u^2 , du , então . Quando , e quando , .
Substituindo:

Passo 7

Agora, fazemos outra substituição: a^2 raiz2 cdot 14 integral1^3 raizv , dv = a^2 raiz24 [ 23 v^3/2 ]1^3 , então = a^2 raiz26 ( 3^3/2 - 1^3/2 ) = a^2 raiz26 (3 raiz3 - 1) , ou seja, .
A integral fica:

Passo 8

Simplificando a expressão:
a^2 raiz26 (3 raiz3 - 1) = a^22 (raiz2 + ln(1 + raiz2))

Resposta

A integral ao longo da curva a2 ( raiz2 + ln(1 + raiz2) ) é:

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