Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos esboçar a curva definida pelas equações paramétricas
e
e indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada conforme o parâmetro
aumenta. Isso envolve conceitos de curvas paramétricas e funções hiperbólicas. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades das funções
e
e como elas se relacionam para formar a curva.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são as funções hiperbólicas
e
. Elas são definidas por:
Essas funções são semelhantes às funções seno e cosseno, mas estão relacionadas a hipérbolas ao invés de círculos. Uma propriedade importante delas é:
Isso é parecido com a identidade trigonométrica
, mas adaptada para hipérbolas.
Passo 3
Vamos agora eliminar o parâmetro
para encontrar a relação direta entre
e
. Sabemos que
e
. Substituindo essas expressões na identidade hiperbólica, temos:
Portanto, a equação da nossa curva é
, que é a equação de uma hipérbole no plano
.
Passo 4
Agora, vamos determinar a direção em que a curva é traçada conforme
aumenta. Observamos que:
-
Quando
aumenta: -
tende a quando vai para . -
também tende a .
-
-
Quando
diminui: -
tende a quando vai para . -
continua sendo , aumentando para .
-
Isso significa que a curva começa no lado esquerdo, com
negativo, e conforme
aumenta, ela se move para a direita, com
e
aumentando. Já quando
diminui, a curva vai para a esquerda, com
tornando-se negativo.
Resposta
A curva definida por
e
é uma hipérbole representada por
. Ao esboçar, deve-se desenhar a hipérbole aberta para cima e para baixo e adicionar uma seta indicando que, conforme
aumenta, a curva se move da esquerda para a direita.