Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
x = senh(t), y = cosh(t)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos esboçar a curva definida pelas equações paramétricas e e indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada conforme o parâmetro aumenta. Isso envolve conceitos de curvas paramétricas e funções hiperbólicas. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades das funções e e como elas se relacionam para formar a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são as funções hiperbólicas e . Elas são definidas por:
Essas funções são semelhantes às funções seno e cosseno, mas estão relacionadas a hipérbolas ao invés de círculos. Uma propriedade importante delas é:
Isso é parecido com a identidade trigonométrica , mas adaptada para hipérbolas.

Passo 3

Vamos agora eliminar o parâmetro para encontrar a relação direta entre e . Sabemos que e . Substituindo essas expressões na identidade hiperbólica, temos:
Portanto, a equação da nossa curva é , que é a equação de uma hipérbole no plano .

Passo 4

Agora, vamos determinar a direção em que a curva é traçada conforme aumenta. Observamos que:
  • Quando aumenta:
    • tende a quando vai para .
    • também tende a .
  • Quando diminui:
    • tende a quando vai para .
    • continua sendo , aumentando para .
Isso significa que a curva começa no lado esquerdo, com negativo, e conforme aumenta, ela se move para a direita, com e aumentando. Já quando diminui, a curva vai para a esquerda, com tornando-se negativo.

Resposta

A curva definida por e é uma hipérbole representada por . Ao esboçar, deve-se desenhar a hipérbole aberta para cima e para baixo e adicionar uma seta indicando que, conforme aumenta, a curva se move da esquerda para a direita.

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