Uma esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de 30 pés
, constitunido uma pilha na forma de cone com o djâmetro da base e altura sempre igual. Quão rápido está crescendo a altura da pilha quando está a 10 pés de altura?
Passo 1
Então, temos uma esteira que está descarregando cascalho a uma taxa de 30 pés cúbicos por minuto. Esse cascalho forma uma pilha em forma de cone, onde o diâmetro da base e a altura do cone são sempre iguais. Queremos descobrir quão rápido a altura dessa pilha está aumentando quando a altura já está em 10 pés. Para resolver isso, vamos usar o estudo de taxas relacionadas na matemática, que nos ajuda a entender como diferentes medidas mudam umas em relação às outras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone, que é:
Aqui,
é o volume,
é o raio da base e
é a altura do cone.
Passo 3
Sabemos que o diâmetro da base é igual à altura, ou seja,
. Como o raio é a metade do diâmetro, temos:
Passo 4
Substituindo
na fórmula do volume, ficamos com:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a taxa de variação da altura em relação ao tempo,
. Para isso, derivamos
em relação ao tempo:
Passo 6
Sabemos que
pés cúbicos por minuto e queremos encontrar
quando
pés. Substituindo esses valores na equação:
Resposta
Portanto, a taxa de crescimento da altura da pilha quando está a 10 pés de altura é: