Uma esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de 30 pés 1/min, constitunido uma pilha na forma de cone com o djâmetro da base e altura sempre igual. Quão rápido está crescendo a altura da pilha quando está a 10 pés de altura?

Passo 1

Então, temos uma esteira que está descarregando cascalho a uma taxa de 30 pés cúbicos por minuto. Esse cascalho forma uma pilha em forma de cone, onde o diâmetro da base e a altura do cone são sempre iguais. Queremos descobrir quão rápido a altura dessa pilha está aumentando quando a altura já está em 10 pés. Para resolver isso, vamos usar o estudo de taxas relacionadas na matemática, que nos ajuda a entender como diferentes medidas mudam umas em relação às outras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone, que é:
Aqui, é o volume, é o raio da base e é a altura do cone.

Passo 3

Sabemos que o diâmetro da base é igual à altura, ou seja, . Como o raio é a metade do diâmetro, temos:

Passo 4

Substituindo na fórmula do volume, ficamos com:

Passo 5

Agora, queremos encontrar a taxa de variação da altura em relação ao tempo, . Para isso, derivamos em relação ao tempo:

Passo 6

Sabemos que pés cúbicos por minuto e queremos encontrar quando pés. Substituindo esses valores na equação:

Resposta

Portanto, a taxa de crescimento da altura da pilha quando está a 10 pés de altura é:
é

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