Calcules as integrais ao longo da curva dada
Calcule , onde a curva é a interseção das superfícies e , ao longo de toda a curva
Sol.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O problema pede para calcular a integral ao longo da curva , que é a interseção das superfícies e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva . Ela é a interseção de duas superfícies:
— que representa um cilindro circular em torno do eixo .
— que é uma parábola no eixo .
Para parametrizar essa curva, podemos usar o fato de que é um círculo no plano . Assim, podemos escrever:
onde varia de a para cobrir toda a curva.
Passo 3
Agora, vamos expressar em termos de . Como , substituindo , temos:
Portanto, a parametrização completa da curva fica:
Passo 4
Para calcular a integral de linha, precisamos encontrar a expressão de . Isso é dado pela norma da derivada da parametrização: