Calcules as integrais ao longo da curva dada
Calcule integralC raiz1+4 x^2 z^2 d s, onde a curva é a interseção das superfícies x^2+z^2=1 e y=x^2, ao longo de toda a curva
Sol. 3 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O problema pede para calcular a integral integralC raiz1+4 x^2 z^2 , ds ao longo da curva C, que é a interseção das superfícies x^2+z^2=1 e y=x^2. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva C. Ela é a interseção de duas superfícies:
  1. x^2 + z^2 = 1 — que representa um cilindro circular em torno do eixo y.
  2. y = x^2 — que é uma parábola no eixo x.
Para parametrizar essa curva, podemos usar o fato de que x^2 + z^2 = 1 é um círculo no plano xz. Assim, podemos escrever:
x = cos t z = sin t
onde t varia de 0 a 2pi para cobrir toda a curva.

Passo 3

Agora, vamos expressar y em termos de t. Como y = x^2, substituindo x = cos t, temos:
y = cos^2 t
Portanto, a parametrização completa da curva C fica:
r(t) = (cos t, cos^2 t, sin t) com t in [0, 2pi]

Passo 4

Para calcular a integral de linha, precisamos encontrar a expressão de ds. Isso é dado pela norma da derivada da parametrização:
drdt = (-sin t, -2cos t sin t, cos t) |drdt| = raiz(-sin t)^2 + (-2cos t sin t)^2 + (cos t)^2 = raizsin^2 t + 4cos^2 t sin^2 t + cos^2 t = raizsin^2 t (1 + 4cos^2 t) + cos^2 t = raizsin^2 t + 4cos^2 t sin^2 t + cos^2 t = raizsin^2 t (1 + 4cos^2 t) + cos^2 t
Após simplificar, notamos que:
raiz1 + 4cos^2 t sin^2 t
Então, ds = raiz1 + 4cos^2 t sin^2 t , dt

Passo 5

Agora, substituímos na integral original:
integralC raiz1+4 x^2 z^2 , ds = integral0^2pi raiz1 + 4 (cos t)^2 (sin t)^2 cdot raiz1 + 4cos^2 t sin^2 t , dt
Perceba que a expressão sob a raiz dentro da integral é a mesma que encontramos para ds, então a integral simplifica para:
integral0^2pi (1 + 4cos^2 t sin^2 t) , dt

Passo 6

Vamos resolver a integral separadamente:
integral0^2pi 1 , dt = 2pi
E para a parte com cos^2 t sin^2 t, usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 t sin^2 t = 14 sin^2 (2t) = 18 (1 - cos(4t))
Portanto:
integral0^2pi 4cos^2 t sin^2 t , dt = 4 cdot 18 integral0^2pi (1 - cos 4t) , dt = 12 [ 2pi - 0 ] = pi

Passo 7

Somando as duas partes:
2pi + pi = 3pi

Resposta

A integral ao longo da curva C é igual a 3pi.

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