Sejam A, B, C, A', B' conjuntos. Mostre que
(A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos três conjuntos , e . A questão quer que a gente mostre que o produto cartesiano da interseção de e com é igual à interseção dos produtos cartesianos de com e de com . Ou seja, precisamos provar que:
Para isso, vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos, como interseção e produto cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto cartesiano. O produto cartesiano de dois conjuntos e , denotado por , é o conjunto de todos os pares ordenados onde pertence a e pertence a . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é a interseção de dois conjuntos. A interseção de e , denotada por , é o conjunto de elementos que estão tanto em quanto em :

Passo 4

Vamos analisar o lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
Isso significa que estamos formando todos os pares onde está na interseção e está em . Ou seja:
Como está em , isso implica que e .

Passo 5

Agora, vamos olhar para o lado direito da igualdade:
Aqui, estamos pegando a interseção dos produtos cartesianos e . Ou seja, queremos todos os pares que estão simultaneamente em e em . Formalmente:
Para que esteja em ambas as partes, precisamos que:
Isso significa que deve estar tanto em quanto em (ou seja, ) e que está em .

Passo 6

Comparando os dois lados, vemos que ambos descrevem o mesmo conjunto de pares onde:
Portanto, concluímos que:

Resposta

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