Sejam
conjuntos. Mostre que
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos três conjuntos
,
e
. A questão quer que a gente mostre que o produto cartesiano da interseção de
e
com
é igual à interseção dos produtos cartesianos de
com
e de
com
. Ou seja, precisamos provar que:
Para isso, vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos, como interseção e produto cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto cartesiano. O produto cartesiano de dois conjuntos
e
, denotado por
, é o conjunto de todos os pares ordenados
onde
pertence a
e
pertence a
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é a interseção de dois conjuntos. A interseção de
e
, denotada por
, é o conjunto de elementos que estão tanto em
quanto em
:
Passo 4
Vamos analisar o lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
Isso significa que estamos formando todos os pares
onde
está na interseção
e
está em
. Ou seja:
Como
está em
, isso implica que
e
.
Passo 5
Agora, vamos olhar para o lado direito da igualdade:
Aqui, estamos pegando a interseção dos produtos cartesianos
e
. Ou seja, queremos todos os pares que estão simultaneamente em
e em
. Formalmente:
Para que
esteja em ambas as partes, precisamos que:
Isso significa que
deve estar tanto em
quanto em
(ou seja,
) e que
está em
.
Passo 6
Comparando os dois lados, vemos que ambos descrevem o mesmo conjunto de pares
onde:
Portanto, concluímos que: