Sejam
conjuntos. Mostre que
, então
.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois subconjuntos,
e
. Nosso objetivo é mostrar que o produto cartesiano
também é um subconjunto de
. Para isso, vamos usar os conceitos de subconjunto e produto cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa dizer que
e
. Isso quer dizer que todo elemento de
está também em
e todo elemento de
está em
. Em outras palavras, não há nenhum elemento em
que não esteja em
, e o mesmo vale para
e
.
Passo 3
Agora, vamos definir o produto cartesiano. O produto cartesiano
é o conjunto de todos os pares ordenados
onde
está em
e
está em
. Formalmente:
De forma similar,
é o conjunto de todos os pares
onde
e
.
Passo 4
Para mostrar que
, precisamos provar que todo par
que está em
também está em
.
Vamos considerar um par arbitrário
. Pelo fato de
, sabemos que
. Da mesma forma, como
, temos que
. Portanto,
é um par onde
e
, o que significa que
.
Resposta
Assim, mostramos que todo par
em
também está em
, ou seja,
.