Sejam A, B, C, A', B' conjuntos. Mostre que
A ⊆ A' , B ⊆ B', então A x B ⊂ A' x B'.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois subconjuntos, e . Nosso objetivo é mostrar que o produto cartesiano também é um subconjunto de . Para isso, vamos usar os conceitos de subconjunto e produto cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa dizer que e . Isso quer dizer que todo elemento de está também em e todo elemento de está em . Em outras palavras, não há nenhum elemento em que não esteja em , e o mesmo vale para e .

Passo 3

Agora, vamos definir o produto cartesiano. O produto cartesiano é o conjunto de todos os pares ordenados onde está em e está em . Formalmente:
De forma similar, é o conjunto de todos os pares onde e .

Passo 4

Para mostrar que , precisamos provar que todo par que está em também está em .
Vamos considerar um par arbitrário . Pelo fato de , sabemos que . Da mesma forma, como , temos que . Portanto, é um par onde e , o que significa que .

Resposta

Assim, mostramos que todo par em também está em , ou seja, .

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