Sejam
conjuntos. Mostre que
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para mostrar que
. Estamos lidando com teoria dos conjuntos, especificamente com diferença de conjuntos e produto cartesiano. Para resolver, vamos lembrar das definições de diferença de conjuntos e produto cartesiano e aplicá-las passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a diferença de conjuntos. A diferença
consiste em todos os elementos que estão em
mas não estão em
. Em termos matemáticos:
Passo 3
Agora, vamos revisar o que é o produto cartesiano. O produto cartesiano
é o conjunto de todos os pares ordenados onde o primeiro elemento está em
e o segundo em
:
Passo 4
Vamos aplicar essas definições ao lado esquerdo da igualdade que queremos mostrar:
. Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos analisar o lado direito da igualdade:
. Isso significa todos os pares
que estão em
mas não em
:
Como
se e somente se
e
, temos:
Passo 6
Comparando as duas expressões que obtivemos:
Vemos que são exatamente os mesmos conjuntos.
Resposta
Portanto, mostramos que
.