Sejam A, B, C, A', B' conjuntos. Mostre que
(A - B) * C = (A * C) - (B * C)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para mostrar que . Estamos lidando com teoria dos conjuntos, especificamente com diferença de conjuntos e produto cartesiano. Para resolver, vamos lembrar das definições de diferença de conjuntos e produto cartesiano e aplicá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a diferença de conjuntos. A diferença consiste em todos os elementos que estão em mas não estão em . Em termos matemáticos:

Passo 3

Agora, vamos revisar o que é o produto cartesiano. O produto cartesiano é o conjunto de todos os pares ordenados onde o primeiro elemento está em e o segundo em :

Passo 4

Vamos aplicar essas definições ao lado esquerdo da igualdade que queremos mostrar: . Substituindo:

Passo 5

Agora, vamos analisar o lado direito da igualdade: . Isso significa todos os pares que estão em mas não em :
Como se e somente se e , temos:

Passo 6

Comparando as duas expressões que obtivemos:
Vemos que são exatamente os mesmos conjuntos.

Resposta

Portanto, mostramos que .

Exercícios relacionados