Calcules as integrais ao longo da curva dada
, onde
é a curva descrita pelo vetor
e
, no intervalo
Sol.
Sol.
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral de linha aqui! A questão pede para calcular
, onde a curva
é definida pelas equações
,
e
, com
variando de 0 a
. Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais de linha, e precisaríamos parametrizar a curva e achar o elemento de arco
.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Já está dada assim:
Essa parametrização nos permite expressar
,
e
em função de
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
, que é o elemento de comprimento ao longo da curva. A fórmula para
em termos de
é:
Isso vem do cálculo de como se move a curva à medida que
varia.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
,
e
em relação a
:
Essas derivadas nos ajudarão a achar
.
Passo 5
Substituindo as derivadas na expressão de
, temos:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar a integração.
Passo 6
Vamos expandir os termos dentro da raiz:
Ao simplificar, os termos
e
se cancelam:
Então,
Passo 7
Agora, a integral fica:
Fazendo uma substituição
,
, então
. A integral se torna:
Simplificando: