Calcules as integrais ao longo da curva dada
integralC z d s, onde C é a curva descrita pelo vetor x=t cos t, y=t sin t e z=t, no intervalo 0 <= t <= 2 pi
Sol. (2+4 pi^2)^3 / 2-2^3 / 23

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral de linha aqui! A questão pede para calcular , onde a curva é definida pelas equações , e , com variando de 0 a . Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais de linha, e precisaríamos parametrizar a curva e achar o elemento de arco .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva r(t) = lang<= t cos t, , t sin t, , t rang<= com 0 <= t <= 2pi . Já está dada assim:
Essa parametrização nos permite expressar , e em função de .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt , que é o elemento de comprimento ao longo da curva. A fórmula para em termos de é:
Isso vem do cálculo de como se move a curva à medida que varia.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de dxdt = cos t - t sin t , dydt = sin t + t cos t e dzdt = 1 em relação a :
Essas derivadas nos ajudarão a achar .

Passo 5

Substituindo as derivadas na expressão de ds = raiz(cos t - t sin t)^2 + (sin t + t cos t)^2 + 1^2 , dt , temos:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar a integração.

Passo 6

Vamos expandir os termos dentro da raiz:
(cos t - t sin t)^2 + (sin t + t cos t)^2 = cos^2 t - 2t sin t cos t + t^2 sin^2 t + sin^2 t + 2t sin t cos t + t^2 cos^2 t
Ao simplificar, os termos cos^2 t + sin^2 t + t^2 (sin^2 t + cos^2 t) = 1 + t^2 cdot 1 = 1 + t^2 e se cancelam:
Então,

Passo 7

Agora, a integral fica:
integral0^2pi z , ds = integral0^2pi t raiz2 + t^2 , dt
Fazendo uma substituição 12 integral2^2 + (2pi)^2 raizu , du = 12 cdot 23 u^3/2 g|2^2 + 4pi^2 , 13 ( (2 + 4pi^2)^3/2 - 2^3/2 ) , então . A integral se torna:
Simplificando:

Resposta

(2 + 4pi^2)^3 / 2 - 2^3 / 23

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