Sejam
e
conjuntos tais que
. Demonstre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente provar que, se temos três conjuntos
,
e
, onde
está contido em
(ou seja, todo elemento de
também está em
), então a interseção entre
e
é vazia. Aqui, vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos como subconjuntos, diferença de conjuntos e interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso representa todos os elementos que estão em
mas não estão em
. Formalmente:
Passo 3
Agora, sabemos que
. Isso quer dizer que todo elemento de
também está em
. Ou seja:
Passo 4
Vamos analisar a interseção
. Um elemento
pertence a essa interseção se e somente se:
Passo 5
Mas, se
e
, então
. Entretanto,
implica que
. Isso cria uma contradição, porque
não pode estar e não estar em
ao mesmo tempo.
Passo 6
Essa contradição mostra que não existe nenhum elemento que esteja simultaneamente em
e em
. Portanto, a interseção entre eles é vazia.
Resposta
Logo,
.