Encontre a solução do problema de valor inicial.
(a)
,
(b)
,
©
,
(d)
,
(e)
,
(f)
,
(g)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo que vamos usar aqui são as equações diferenciais homogêneas e a fórmula característica para encontrar a solução. Precisamos achar os valores que satisfazem a equação e que respeitam as condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
Para resolver isso, a gente usa a equação característica. A equação característica associada a essa diferencial é:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação característica para encontrar os valores de
:
Aqui,
é a unidade imaginária, então temos raízes complexas.
Passo 4
Quando as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
No nosso caso,
e
, então a solução fica:
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro,
:
Segundo,
. Primeiro, vamos achar a derivada de
:
Agora, aplicando
:
Resposta
A solução do problema é: