Encontre a solução do problema de valor inicial.
(a) y'' + 4y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1,
(b) 9 y'' - 12 y' + 4 y = 0, y(0) = 2, y'(0) = -1,
© y'' + 4y' + 5y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0,
(d) y'' - 6y' + 9y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 2,
(e) y'' - 2y' + 5y = 0, y(pi/2) = 0, y'(pi/2) = 2,
(f) 9 y'' + 6 y' + 82 y = 0, y(0) = -1, y'(0) = 2,
(g) y'' + y = 0, y(pi / 3) = 0, y' (pi / 3) = -4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo que vamos usar aqui são as equações diferenciais homogêneas e a fórmula característica para encontrar a solução. Precisamos achar os valores que satisfazem a equação e que respeitam as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
Para resolver isso, a gente usa a equação característica. A equação característica associada a essa diferencial é:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação característica para encontrar os valores de :
Aqui, é a unidade imaginária, então temos raízes complexas.

Passo 4

Quando as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
No nosso caso, e , então a solução fica:

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, :
Segundo, . Primeiro, vamos achar a derivada de :
Agora, aplicando :

Resposta

A solução do problema é:

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