Um triângulo de base 10 cm forma com o lado de 5 cm , um ângulo
. Quão rapidamente varia a área do triângulo em relação a
quando
?
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um triângulo onde a base mede 10 cm e um dos lados mede 5 cm, formando um ângulo
. O que a gente quer saber é quão rápido a área desse triângulo está mudando em relação a
quando
radianos. Para resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria e cálculo, especificamente derivadas relacionadas à área de um triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calculamos a área de um triângulo quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles. A fórmula é:
Aqui,
e
são os lados que formam o ângulo
. No nosso caso,
cm e
cm.
Passo 3
Agora, queremos saber como a área
muda em relação a
. Isso significa que precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Vamos derivar a fórmula da área:
Isso vem da regra da derivada de
, que é
.
Passo 4
Agora, é só substituir os valores que temos na f��rmula. Sabemos que
cm,
cm e
radianos.
Passo 5
Vamos calcular agora. Primeiro, multiplicamos os números:
E sabemos que
.
Então:
Resposta
A variação da área do triângulo em relação a
quando
radianos é
cm² por radiano.