Um triângulo de base 10 cm forma com o lado de 5 cm , um ângulo theta. Quão rapidamente varia a área do triângulo em relação a theta quando theta = pi / 6 rad ?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um triângulo onde a base mede 10 cm e um dos lados mede 5 cm, formando um ângulo . O que a gente quer saber é quão rápido a área desse triângulo está mudando em relação a quando radianos. Para resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria e cálculo, especificamente derivadas relacionadas à área de um triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calculamos a área de um triângulo quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles. A fórmula é:
Aqui, e são os lados que formam o ângulo . No nosso caso, cm e cm.

Passo 3

Agora, queremos saber como a área muda em relação a . Isso significa que precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, .
Vamos derivar a fórmula da área:
Isso vem da regra da derivada de , que é .

Passo 4

Agora, é só substituir os valores que temos na f��rmula. Sabemos que cm, cm e radianos.

Passo 5

Vamos calcular agora. Primeiro, multiplicamos os números:
E sabemos que .
Então:

Resposta

A variação da área do triângulo em relação a quando radianos é cm² por radiano.

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