(1.0) Suponhamos que e suas derivadas parciais sejam contínuas na região fechada , no plano- . Então, se for a medida da área da superfície que está sobre ,
Com base nessa definição, encontre a área do parabolóide abaixo do plano .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um parabolóide definido por e queremos encontrar a área dessa superfície que está abaixo do plano . Para isso, vamos usar a fórmula da área de uma superfície:
Aqui, . Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois integrar sobre a região que está abaixo de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 3

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula da área:

Passo 4

A região está abaixo de , ou seja, . Isso define um círculo com raio 2 no plano . Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde e . Nesse sistema, a região é e .

Passo 5

Em coordenadas polares, a expressão se transforma:
E o elemento de área vira . Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, com respeito a :
Fazendo uma substituição para facilitar a integração:
Deixe , então ou .
Quando , ;
Quando , .
A integral fica:
Calculando e :

Passo 7

Agora, vamos integrar com respeito a :

Resposta

A área do parabolóide abaixo do plano é:

Exercícios relacionados

(1.0)
(i) Calcule onde é a região compreendida entre os gráficos de e .
  1. Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem:
    (a)
    (b)
    ©
    (d)
    (e)
    (f)
  2. Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
    (a)
    (b)
    ©
    (d)
    (e)
    (f)
    (g)
    (h)
  3. Sendo a -ésima soma parcial de uma série dada por
encontre e .
4. Se , calcule .
5. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
6. Encontre uma representação em série de potências e determine o raio de convergência para as funções abaixo:
(a)
(b)
7. Encontre o polinômio de Taylor de em torno de e depois calcule com precisão de cinco casas decimais.
8. Determine o grau do polinômio de Taylor de em torno de para que obtenhamos uma aproximação para o número de Euler com precisão de três casas decimais.

GABARITO

  1. (a) Converge para 1
    (b) Converge para 0
    © Converge para 0
    (d) Converge para 1
    (e) Diverge
    (f) Converge para
  2. (a) Diverge
    (b) Converge
    © Diverge
    (d) Converge
    (e) Converge
    (f) Converge
    (g) Converge
    (h) Diverge
  3. para e
  4. (a) e
    (b) e
    © e
    (d) e
  5. (a) e
    (b) e
Se , mostre que para todo número real .
Se , ache .