(1.0) Suponhamos que e suas derivadas parciais sejam contínuas na região fechada , no plano- . Então, se for a medida da área da superfície que está sobre ,
Com base nessa definição, encontre a área do parabolóide abaixo do plano .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um parabolóide definido por e queremos encontrar a área dessa superfície que está abaixo do plano . Para isso, vamos usar a fórmula da área de uma superfície:
Aqui, . Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois integrar sobre a região que está abaixo de .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de :
Passo 3
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula da área:
Passo 4
A região está abaixo de , ou seja, . Isso define um círculo com raio 2 no plano . Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde e . Nesse sistema, a região é e .
Passo 5
Em coordenadas polares, a expressão se transforma:
E o elemento de área vira . Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, com respeito a :
Fazendo uma substituição para facilitar a integração: