(1.0) Suponhamos que f e suas derivadas parciais sejam contínuas na região fechada R, no plano- x y. Então, se sigma for a medida da área da superfície z=f(x, y) que está sobre R,
sigma=integral duplaR raiz(partial f(x, y)partial x)^2+(partial f(x, y)partial y)^2+1 d x d y
Com base nessa definição, encontre a área do parabolóide z=x^2+y^2 abaixo do plano z=4.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um parabolóide definido por sigma = integral duplaR raiz(partial fpartial x)^2 + (partial fpartial y)^2 + 1 , dx , dy e queremos encontrar a área dessa superfície que está abaixo do plano . Para isso, vamos usar a fórmula da área de uma superfície:
Aqui, . Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois integrar sobre a região que está abaixo de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de partial fpartial x = 2x e partial fpartial y = 2y :

Passo 3

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula da área:
sigma = integral duplaR raiz(2x)^2 + (2y)^2 + 1 , dx , dy = integral duplaR raiz4x^2 + 4y^2 + 1 , dx , dy

Passo 4

A região está abaixo de , ou seja, . Isso define um círculo com raio 2 no plano . Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde e . Nesse sistema, a região é e .

Passo 5

Em coordenadas polares, a expressão 4x^2 + 4y^2 + 1 = 4r^2 + 1 se transforma:
sigma = integral0^2pi integral0^2 raiz4r^2 + 1 cdot r , dr , dtheta
E o elemento de área vira . Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, com respeito a integral0^2 r raiz4r^2 + 1 , dr :
18 integral1^17 raizu , du = 18 cdot 23 u^3/2 g|1^17 = 112 (17^3/2 - 1^3/2)
Fazendo uma substituição para facilitar a integração:
Deixe 112 (17 raiz17 - 1) , então ou .
Quando , ;
Quando , .
A integral fica:
Calculando e :

Passo 7

Agora, vamos integrar com respeito a sigma = integral0^2pi 112 (17 raiz17 - 1) , dtheta = 112 (17 raiz17 - 1) cdot 2pi = pi6 (17 raiz17 - 1) :

Resposta

A área do parabolóide sigma = pi6 (17 raiz17 - 1) abaixo do plano é:

Exercícios relacionados