(1.0)
(i) Calcule
onde
é a região compreendida entre os gráficos de
e
.
(i) Calcule
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral dupla
, onde a região
está entre as curvas
e
, no intervalo
. Vamos usar cálculo integral, especificamente a integração para encontrar a área entre duas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas. A curva
é uma função trigonométrica que começa em 0 quando
e vai até 1 quando
. Já a curva
também é trigonométrica, iniciando em 0 quando
e alcançando 2 quando
, mas nesse caso estamos até
, onde
.
Passo 3
Vamos encontrar o ponto onde as duas curvas se encontram dentro do intervalo dado. Igualando
, temos:
Resolvendo essa equação, encontramos que elas se interceptam em
.
Passo 4
Como as duas curvas se encontram exatamente em
e ambas têm valor 1 nesse ponto, a região
entre 0 e
está delimitada por essas duas funções. Para calcular a área, podemos integrar a diferença das funções em relação a
.
Passo 5
A fórmula para a área entre duas curvas
e
de
a
é:
Aqui,
e
, com
e
.
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Simplificando dentro da integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 8
Aplicando os limites de integração de 0 a
:
Calculando em
:
Calculando em
:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Resposta
A integral dupla
vale
.
Exercícios relacionados
CÁLCULO 2 - 2024.2
PROFESSOR: ALANCOC ALENCAR
E-MAIL: alancoc95@gmail.com
WHATSAPP: (61) 99643 - 9635
LISTA 1
PROFESSOR: ALANCOC ALENCAR
E-MAIL: alancoc95@gmail.com
WHATSAPP: (61) 99643 - 9635
LISTA 1
- Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) - Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) - Sendo a
-ésima soma parcial de uma série dada por
encontre
e
.
4. Se , calcule
.
5. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
6. Encontre uma representação em série de potências e determine o raio de convergência para as funções abaixo:
(a)
(b)
7. Encontre o polinômio de Taylor de
em torno de
e depois calcule
com precisão de cinco casas decimais.
8. Determine o grau do polinômio de Taylor
de
em torno de
para que obtenhamos uma aproximação para o número de Euler
com precisão de três casas decimais.
4. Se
5. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
6. Encontre uma representação em série de potências e determine o raio de convergência para as funções abaixo:
(a)
(b)
7. Encontre o polinômio de Taylor
8. Determine o grau
GABARITO
- (a) Converge para 1
(b) Converge para 0
© Converge para 0
(d) Converge para 1
(e) Diverge
(f) Converge para - (a) Diverge
(b) Converge
© Diverge
(d) Converge
(e) Converge
(f) Converge
(g) Converge
(h) Diverge -
para e -
- (a)
e
(b)e
©e
(d)e - (a)
e
(b)e -
-
(2.0) (i) Qual a conclusão do Teorema do Valor Médio para Integrais (TVMI)?
(1.0) Suponhamos que
e suas derivadas parciais sejam contínuas na região fechada
, no plano-
. Então, se
for a medida da área da superfície
que está sobre
,
Com base nessa definição, encontre a área do parabolóide
abaixo do plano
.
Se
, mostre que
para todo número real
.