(1.0)
(i) Calcule
onde
é a região compreendida entre os gráficos de
e
.
(i) Calcule
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral dupla
, onde a região
está entre as curvas
e
, no intervalo
. Vamos usar cálculo integral, especificamente a integração para encontrar a área entre duas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas. A curva
é uma função trigonométrica que começa em 0 quando
e vai até 1 quando
. Já a curva
também é trigonométrica, iniciando em 0 quando
e alcançando 2 quando
, mas nesse caso estamos até
, onde
.
Passo 3
Vamos encontrar o ponto onde as duas curvas se encontram dentro do intervalo dado. Igualando
, temos:
Resolvendo essa equação, encontramos que elas se interceptam em
.
Passo 4
Como as duas curvas se encontram exatamente em
e ambas têm valor 1 nesse ponto, a região
entre 0 e
está delimitada por essas duas funções. Para calcular a área, podemos integrar a diferença das funções em relação a
.
Passo 5
A fórmula para a área entre duas curvas
e
de
a
é:
Aqui,
e
, com
e
.
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Simplificando dentro da integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 8
Aplicando os limites de integração de 0 a
:
Calculando em
:
Calculando em
:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Resposta
A integral dupla
vale
.