(1.0)
(i) Calcule onde é a região compreendida entre os gráficos de e .

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral dupla , onde a região está entre as curvas e , no intervalo . Vamos usar cálculo integral, especificamente a integração para encontrar a área entre duas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas. A curva é uma função trigonométrica que começa em 0 quando e vai até 1 quando . Já a curva também é trigonométrica, iniciando em 0 quando e alcançando 2 quando , mas nesse caso estamos até , onde .

Passo 3

Vamos encontrar o ponto onde as duas curvas se encontram dentro do intervalo dado. Igualando , temos:
Resolvendo essa equação, encontramos que elas se interceptam em .

Passo 4

Como as duas curvas se encontram exatamente em e ambas têm valor 1 nesse ponto, a região entre 0 e está delimitada por essas duas funções. Para calcular a área, podemos integrar a diferença das funções em relação a .

Passo 5

A fórmula para a área entre duas curvas e de a é:
Á
Aqui, e , com e .

Passo 6

Substituindo na fórmula:
Á
Simplificando dentro da integral:
Á

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 8

Aplicando os limites de integração de 0 a :
Calculando em :
Calculando em :

Passo 9

Subtraindo os valores:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

  1. Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem:
    (a)
    (b)
    ©
    (d)
    (e)
    (f)
  2. Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
    (a)
    (b)
    ©
    (d)
    (e)
    (f)
    (g)
    (h)
  3. Sendo a -ésima soma parcial de uma série dada por
encontre e .
4. Se , calcule .
5. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
6. Encontre uma representação em série de potências e determine o raio de convergência para as funções abaixo:
(a)
(b)
7. Encontre o polinômio de Taylor de em torno de e depois calcule com precisão de cinco casas decimais.
8. Determine o grau do polinômio de Taylor de em torno de para que obtenhamos uma aproximação para o número de Euler com precisão de três casas decimais.

GABARITO

  1. (a) Converge para 1
    (b) Converge para 0
    © Converge para 0
    (d) Converge para 1
    (e) Diverge
    (f) Converge para
  2. (a) Diverge
    (b) Converge
    © Diverge
    (d) Converge
    (e) Converge
    (f) Converge
    (g) Converge
    (h) Diverge
  3. para e
  4. (a) e
    (b) e
    © e
    (d) e
  5. (a) e
    (b) e
(2.0) (i) Qual a conclusão do Teorema do Valor Médio para Integrais (TVMI)?
(1.0) Suponhamos que e suas derivadas parciais sejam contínuas na região fechada , no plano- . Então, se for a medida da área da superfície que está sobre ,
Com base nessa definição, encontre a área do parabolóide abaixo do plano .
Se , mostre que para todo número real .