(1.0)
(i) Calcule integral duplaR d x d y onde R é a região compreendida entre os gráficos de y=sen x e y=1-cos x, com 0 <= x <= pi2.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral dupla integral duplaR dx , dy, onde a região R está entre as curvas y = sin x e y = 1 - cos x, no intervalo 0 <= x <= pi2. Vamos usar cálculo integral, especificamente a integração para encontrar a área entre duas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas. A curva y = sin x é uma função trigonométrica que começa em 0 quando x=0 e vai até 1 quando x=pi2. Já a curva y = 1 - cos x também é trigonométrica, iniciando em 0 quando x=0 e alcançando 2 quando x=pi, mas nesse caso estamos até pi2, onde 1 - cos pi2 = 1.

Passo 3

Vamos encontrar o ponto onde as duas curvas se encontram dentro do intervalo dado. Igualando sin x = 1 - cos x, temos:
sin x + cos x = 1
Resolvendo essa equação, encontramos que elas se interceptam em x = pi2.

Passo 4

Como as duas curvas se encontram exatamente em x = pi2 e ambas têm valor 1 nesse ponto, a região R entre 0 e pi2 está delimitada por essas duas funções. Para calcular a área, podemos integrar a diferença das funções em relação a x.

Passo 5

A fórmula para a área entre duas curvas y = f(x) e y = g(x) de a a b é:
Área = integrala^b [f(x) - g(x)] , dx Á
Aqui, f(x) = 1 - cos x e g(x) = sin x, com a=0 e b=pi2.

Passo 6

Substituindo na fórmula:
Área = integral0^pi2 [(1 - cos x) - sin x] , dx Á
Simplificando dentro da integral:
Área = integral0^pi2 [1 - cos x - sin x] , dx Á

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1 , dx = x
integral -cos x , dx = -sin x
integral -sin x , dx = cos x

Passo 8

Aplicando os limites de integração de 0 a pi2:
[ x - sin x + cos x ]0^pi2
Calculando em x = pi2:
pi2 - sin pi2 + cos pi2 = pi2 - 1 + 0 = pi2 - 1
Calculando em x = 0:
0 - sin 0 + cos 0 = 0 - 0 + 1 = 1

Passo 9

Subtraindo os valores:
(pi2 - 1) - 1 = pi2 - 2

Resposta

A integral dupla integral duplaR dx , dy vale pi2 - 2.

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