CÁLCULO 2 - 2024.1
PROFESSOR: ALANCOC ALENCAR
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LISTA 4
  1. Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem:
    (a) an=tan (2 n pi1+8 n)
    (b) an=(2 n-1)!(2 n+1)!
    © an=arctan (n)n
    (d) an=n sin (1n)
    (e) an=n^2raizn^3+4 n
    (f) an=raiz3+2 n^28 n^2+n
  2. Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
    (a) sumn=1^+infty 2 n3 n+1
    (b) sumn=1^+infty e^n3^n-1
    © sumn=1^+infty ln (1+1n)
    (d) sumn=1^+infty ln (n)n^3
    (e) sumn=0^+infty 1+sin (n)10^n
    (f) sumn=0^+infty sin (n pi+pi2)1+raizn
    (g) sumn=1^+infty(-1)^n(raizn+1-raizn)
    (h) sumn=1^+infty(1+1n)^n^2
  3. Sendo a n-ésima soma parcial de uma série sumn=1^+infty an dada por
Sn=sumk=1^n ak=n-1n+1
encontre an e sumn=1^+infty an.
4. Se sumn=1^+infty 1n^2=pi^26, calcule sumn=3^+infty 1(n+1)^2.
5. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
(a) sumn=1^+infty (x-2)^nn^n
(b) sumn=1^+infty x^n2 n+1
© sumn=1^+infty(-1)^n x^n n^22^n
(d) sumn=0^+infty (x-2)^nn^2+1
6. Encontre uma representação em série de potências e determine o raio de convergência para as funções abaixo:
(a) f(x)=ln (1+x1-x)
(b) f(x)=arctan (2 x)
7. Determine se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem:
(a) integral0^+infty x^2raiz1-x^3 d x
(b) integral0^+infty 1x^2+3 x+2 d x
© integral-infty^+infty x^3 e^-x^4 d x
(d) integral0^+infty xx^3+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. A gente precisa determinar se a sequência converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades da função tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o argumento da função tangente: . Quando cresce, tanto o numerador quanto o denominador aumentam, mas queremos ver para onde esse quociente está se aproximando.

Passo 3

Vamos calcular o limite do argumento conforme limn to infty 2npi1 + 8n = limn to infty 2pi1n + 8 = 2pi8 = pi4 tende ao infinito:
Então, o argumento da tangente está tendendo para .

Passo 4

Sabemos que limn to infty tan(2npi1 + 8n) = tan(limn to infty 2npi1 + 8n) = tan(pi4) = 1 . Além disso, a função tangente é contínua nesse ponto, o que significa que:

Resposta

A sequência converge para 1.

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