Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
lim (x, y) (0,0) 2 yx+y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para gente determinar o limite da função quando se aproxima de . Isso faz parte da matéria de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar verificar se o limite é o mesmo independente do caminho que a gente escolhe para chegar em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em funções de duas variáveis, o limite existe se o valor da função for o mesmo quando a gente se aproxima do ponto por qualquer caminho. Ou seja, se a gente conseguir encontrar dois caminhos diferentes que levam a valores diferentes para o limite, então o limite não existe.

Passo 3

Vamos tentar dois caminhos diferentes para ver se o limite é o mesmo.
Caminho 1: Vamos aproximar pelo eixo 2y0 + y = 2yy = 2 . Isso significa que e vai para 0.
Substituindo na função:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 2.

Passo 4

Caminho 2: Agora, vamos aproximar pelo eixo 2 cdot 0x + 0 = 0x = 0 . Assim, e vai para 0.
Substituindo na função:
Nesse caso, o limite é 0.

Passo 5

Então, vimos que ao se aproximar de pelo eixo , o limite é 2, e ao se aproximar pelo eixo , o limite é 0. Como obtemos valores diferentes dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

O limite não existe.

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