Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para gente determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso faz parte da matéria de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar verificar se o limite é o mesmo independente do caminho que a gente escolhe para chegar em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, em funções de duas variáveis, o limite existe se o valor da função for o mesmo quando a gente se aproxima do ponto por qualquer caminho. Ou seja, se a gente conseguir encontrar dois caminhos diferentes que levam a valores diferentes para o limite, então o limite não existe.
Passo 3
Vamos tentar dois caminhos diferentes para ver se o limite é o mesmo.
Caminho 1: Vamos aproximar pelo eixo
. Isso significa que
e
vai para 0.
Substituindo na função:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 2.
Passo 4
Caminho 2: Agora, vamos aproximar pelo eixo
. Assim,
e
vai para 0.
Substituindo na função:
Nesse caso, o limite é 0.
Passo 5
Então, vimos que ao se aproximar de
pelo eixo
, o limite é 2, e ao se aproximar pelo eixo
, o limite é 0. Como obtemos valores diferentes dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite não é o mesmo em todas as direções.
Resposta
O limite não existe.