Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
Vamos usar conceitos de análise de séries de potências, especificamente o Teste da Razão, para determinar esses valores.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o raio de convergência. Ele indica até que valor de a série converge. Para encontrá-lo, vamos aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série vai somar um valor finito.
Passo 3
Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite:
onde .
Passo 4
Vamos substituir L = limn to infty | (-1)^n+1 x^n+1 (n+1)^22^n+1 (-1)^n x^n n^22^n | na fórmula:
L = limn to infty | -x (n+1)^2 2 n^2 | = limn to infty | x (n+1)^2 2 n^2 |
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão dentro do limite:
(n+1)^2n^2 = (1 + 1n)^2 approx 1 quando n to infty
Portanto:
L = | x2 |
Passo 6
Para a série convergir, o limite | x2 | < 1 implies |x| < 2 deve ser menor que 1:
Isso nos diz que o raio de convergência é .
Passo 7
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência, que são os valores de para os quais a série converge. Já sabemos que , então inicialmente temos o intervalo .
Passo 8
Precisamos verificar os pontos finais sumn=1^+infty (-1)^n 2^n n^22^n = sumn=1^+infty (-1)^n n^2 e sumn=1^+infty (-1)^n (-2)^n n^22^n = sumn=1^+infty (-1)^n (-1)^n n^2 = sumn=1^+infty n^2 :
Para :
Essa série não converge porque os termos não tendem a zero.
Para :
Novamente, a série diverge porque os termos crescem sem limite.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .