Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
Vamos usar conceitos de análise de séries de potências, especificamente o Teste da Razão, para determinar esses valores.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o raio de convergência. Ele indica até que valor de a série converge. Para encontrá-lo, vamos aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série vai somar um valor finito.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite:
onde .

Passo 4

Vamos substituir na fórmula:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Portanto:

Passo 6

Para a série convergir, o limite deve ser menor que 1:
Isso nos diz que o raio de convergência é .

Passo 7

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência, que são os valores de para os quais a série converge. Já sabemos que , então inicialmente temos o intervalo .

Passo 8

Precisamos verificar os pontos finais e :
  • Para :
Essa série não converge porque os termos não tendem a zero.
  • Para :
Novamente, a série diverge porque os termos crescem sem limite.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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    (a)
    (b)
    ©
    (d)
    (e)
    (f)
  2. Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
    (a)
    (b)
    ©
    (d)
    (e)
    (f)
    (g)
    (h)
  3. Sendo a -ésima soma parcial de uma série dada por
encontre e .
4. Se , calcule .
5. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
6. Encontre uma representação em série de potências e determine o raio de convergência para as funções abaixo:
(a)
(b)
7. Determine se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem:
(a)
(b)
©
(d)