Encontre uma representação em série de potências e determine o raio de convergência para as funções abaixo:
f(x) = arctan(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função e também determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de Taylor e entender como elas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências da função . A série de Taylor para centrada em 0 é:
Essa série é válida para .

Passo 3

Agora, como a nossa função é e não , vamos substituir por na série acima. Isso dá:

Passo 4

Vamos simplificar um pouquinho essa expressão. Expandindo , temos:
Podemos também escrever isso como:
Mas a forma anterior já está boa para a gente determinar o raio de convergência.

Passo 5

Para encontrar o raio de convergência dessa série, vamos usar o critério do limite da razão. Considerando a série geral:
O critério da razão nos diz para calcular:
Vamos simplificar:
Para a série convergir, precisamos que :
Então, o raio de convergência é .

Resposta

A representação em série de potências para é:
E o raio de convergência dessa série é .

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