Encontre uma representação em série de potências e determine o raio de convergência para as funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função e também determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de Taylor e entender como elas funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências da função . A série de Taylor para centrada em 0 é:
Essa série é válida para .
Passo 3
Agora, como a nossa função é e não , vamos substituir por na série acima. Isso dá:
Passo 4
Vamos simplificar um pouquinho essa expressão. Expandindo , temos:
Podemos também escrever isso como:
Mas a forma anterior já está boa para a gente determinar o raio de convergência.
Passo 5
Para encontrar o raio de convergência dessa série, vamos usar o critério do limite da razão. Considerando a série geral: