Encontre uma representação em série de potências e determine o raio de convergência para as funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos uma representação em série de potências para a função e determinar o raio de convergência dessa série. Vamos precisar usar conceitos de séries de potências, séries de Taylor e o teste da razão para achar o raio de convergência. Basicamente, vamos expandir a função em uma série que é uma soma infinita de termos envolvendo potências de e verificar até onde essa série é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função . Temos:
Essa separação nos permite trabalhar com séries que já conhecemos para e .
Passo 3
Sabemos que a série de Taylor para em torno de 0 é:
E para :
Passo 4
Substituindo essas séries na expressão de :
Passo 5
Vamos simplificar . Observe que:
Se é ímpar, , então .
Se é par, , então .
Isso significa que apenas os termos de ímpar sobrevivem na série.
Passo 6
Então, podemos reescrever a série considerando apenas ímpar:
Podemos também expressar isso em termos de , onde :
Passo 7
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Utilizamos o teste da razão, que é dado por: