Encontre uma representação em série de potências e determine o raio de convergência para as funções abaixo:
f(x) = ln((1+x)/(1-x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos uma representação em série de potências para a função e determinar o raio de convergência dessa série. Vamos precisar usar conceitos de séries de potências, séries de Taylor e o teste da razão para achar o raio de convergência. Basicamente, vamos expandir a função em uma série que é uma soma infinita de termos envolvendo potências de e verificar até onde essa série é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Temos:
Essa separação nos permite trabalhar com séries que já conhecemos para e .

Passo 3

Sabemos que a série de Taylor para em torno de 0 é:
E para :

Passo 4

Substituindo essas séries na expressão de :

Passo 5

Vamos simplificar . Observe que:
  • Se é ímpar, , então .
  • Se é par, , então .
Isso significa que apenas os termos de ímpar sobrevivem na série.

Passo 6

Então, podemos reescrever a série considerando apenas ímpar:
í
Podemos também expressar isso em termos de , onde :

Passo 7

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Utilizamos o teste da razão, que é dado por:
Onde .
Calculando:
Tomando o limite:
Para convergência, precisamos que :
Então, o raio de convergência é 1.

Resposta

A representação em série de potências de é:
E o raio de convergência dessa série é 1.

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