(Cálculo algébrico com inversas de matrizes) Considerem-se as matrizes invertíveis
. Simplificar ao máximo as expressões abaixo indicadas.
16.2
16.2
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem duas matrizes invertíveis
e
de tamanho
. A tarefa é simplificar ao máximo a expressão:
Vamos precisar usar propriedades de matrizes, como a distributiva, a identidade de matrizes e a definição de matriz inversa para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir cada parte da expressão usando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à soma. Começando com o primeiro termo:
Aqui,
é a matriz identidade, que tem a propriedade de que qualquer matriz multiplicada por ela permanece a mesma. Além disso,
porque
é a matriz inversa de
.
Então, simplificando:
Portanto, o primeiro termo fica:
Passo 3
Agora, vamos expandir o segundo termo da expressão:
Aqui, utilizamos novamente a propriedade distributiva. Sabemos que
.
Simplificando cada parte:
Portanto, o segundo termo simplificado é:
Passo 4
Vamos agora expandir o terceiro termo:
Sabemos que
e
.
Então, simplificando:
Passo 5
Agora, vamos juntar todas as partes simplificadas:
Vamos combinar os termos semelhantes:
-
Para os termos com
: -
Para os termos com
: -
Os outros termos são
e .
Então, a expressão fica:
Resposta
A expressão simplificada é:
Exercícios relacionados
Prove que
é um subespaço vetorial de
.
Considere o espaço vetorial
com o produto interno
Dados os polinômios
calcule
em que
é o ângulo entre os polinômios
e
.
Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno.
(b) Mostre que é ortogonal a cada um dos vetores
se, e somente se,
é ortogonal a todo vetor de
.
(b) Mostre que
Prove que o conjunto
é uma base de
.