(Cálculo algébrico com inversas de matrizes) Considerem-se as matrizes invertíveis A, B in Matn(R). Simplificar ao máximo as expressões abaixo indicadas.
16.2 A(7 In+A^-1)-B(5 B^-1 A+B^-1+A)+A(A-2 In)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem duas matrizes invertíveis A(7 In + A^-1) - B(5 B^-1 A + B^-1 + A) + A(A - 2 In) e de tamanho . A tarefa é simplificar ao máximo a expressão:
Vamos precisar usar propriedades de matrizes, como a distributiva, a identidade de matrizes e a definição de matriz inversa para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir cada parte da expressão usando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à soma. Começando com o primeiro termo:
A(7 In + A^-1) = A cdot 7 In + A cdot A^-1
Aqui, A cdot 7 In = 7A é a matriz identidade, que tem a propriedade de que qualquer matriz multiplicada por ela permanece a mesma. Além disso, A cdot A^-1 = In porque 7A + In é a matriz inversa de .
Então, simplificando:
Portanto, o primeiro termo fica:

Passo 3

Agora, vamos expandir o segundo termo da expressão:
- B(5 B^-1 A + B^-1 + A) = -B cdot 5 B^-1 A - B cdot B^-1 - B cdot A
Aqui, utilizamos novamente a propriedade distributiva. Sabemos que - B cdot 5 B^-1 A = -5 In A = -5A .
Simplificando cada parte:
- B cdot B^-1 = -In
- B cdot A = -BA
-5A - In - BA
Portanto, o segundo termo simplificado é:

Passo 4

Vamos agora expandir o terceiro termo:
A(A - 2 In) = A cdot A - A cdot 2 In
Sabemos que A^2 - 2A e .
Então, simplificando:

Passo 5

Agora, vamos juntar todas as partes simplificadas:
7A + In - 5A - In - BA + A^2 - 2A
Vamos combinar os termos semelhantes:
  • Para os termos com 7A - 5A - 2A = 0A :
    In - In = 0
  • Para os termos com 0A + 0 + A^2 - BA = A^2 - BA :
  • Os outros termos são e .
Então, a expressão fica:

Resposta

A expressão simplificada é:
A^2 - B A

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