(Cálculo algébrico com inversas de matrizes) Considerem-se as matrizes invertíveis . Simplificar ao máximo as expressões abaixo indicadas.
16.2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem duas matrizes invertíveis e de tamanho . A tarefa é simplificar ao máximo a expressão:
Vamos precisar usar propriedades de matrizes, como a distributiva, a identidade de matrizes e a definição de matriz inversa para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir cada parte da expressão usando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à soma. Começando com o primeiro termo:
Aqui, é a matriz identidade, que tem a propriedade de que qualquer matriz multiplicada por ela permanece a mesma. Além disso, porque é a matriz inversa de .
Então, simplificando:
Portanto, o primeiro termo fica:

Passo 3

Agora, vamos expandir o segundo termo da expressão:
Aqui, utilizamos novamente a propriedade distributiva. Sabemos que .
Simplificando cada parte:
Portanto, o segundo termo simplificado é:

Passo 4

Vamos agora expandir o terceiro termo:
Sabemos que e .
Então, simplificando:

Passo 5

Agora, vamos juntar todas as partes simplificadas:
Vamos combinar os termos semelhantes:
  • Para os termos com :
  • Para os termos com :
  • Os outros termos são e .
Então, a expressão fica:

Resposta

A expressão simplificada é:

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