Prove que S é um subespaço vetorial de M2(R).
4.1 S=[llx & y z & w] in M2(R): x+y+z=0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos o conjunto S = x & y z & w in M2(R) : x + y + z = 0 que consiste em todas as matrizes com entradas reais, ou seja, , que satisfazem a condição , onde são os elementos da matriz:
Queremos provar que é um subespaço vetorial de . Para isso, precisamos verificar três propriedades básicas de subespaços:
  1. O vetor zero está em .
  2. é fechado sob adição.
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

1. Verificar se o vetor zero está em 0 = 0 & 0 0 & 0 .
O vetor zero em x + y + z = 0 + 0 + 0 = 0 é a matriz onde todas as entradas são zero:
Vamos ver se essa matriz pertence a :
Como a condição é satisfeita, o vetor zero está em .

Passo 3

2. Verificar se A = x1 & y1 z1 & w1 e B = x2 & y2 z2 & w2 é fechado sob adição.
Isso significa que se pegarmos duas matrizes quaisquer em x1 + y1 + z1 = 0 e x2 + y2 + z2 = 0 , a soma delas também deve estar em A + B = x1 + x2 & y1 + y2 z1 + z2 & w1 + w2 .
Sejam duas matrizes em (x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) = 0 + 0 = 0 :
Sabemos que:
Vamos somar e :
Precisamos verificar se :
Portanto, a soma também pertence a .

Passo 4

3. Verificar se A = x & y z & w é fechado sob multiplicação por escalar.
Isso significa que se pegarmos uma matriz em kA = kx & ky kz & kw e a multiplicarmos por qualquer número real, o resultado também deve estar em kx + ky + kz = k(x + y + z) .
Seja uma matriz em k(x + y + z) = k cdot 0 = 0 :
e um escalar .
Multiplicando por :
Precisamos verificar se :
Como (porque está em ):
Portanto, também pertence a .

Resposta

Como todas as três propriedades de subespaço vetorial foram verificadas, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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