Prove que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos o conjunto
que consiste em todas as matrizes
com entradas reais, ou seja,
, que satisfazem a condição
, onde
são os elementos da matriz:
Queremos provar que
é um subespaço vetorial de
. Para isso, precisamos verificar três propriedades básicas de subespaços:
- O vetor zero está em
. -
é fechado sob adição. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 2
1. Verificar se o vetor zero está em
.
O vetor zero em
é a matriz onde todas as entradas são zero:
Vamos ver se essa matriz pertence a
:
Como a condição
é satisfeita, o vetor zero está em
.
Passo 3
2. Verificar se
é fechado sob adição.
Isso significa que se pegarmos duas matrizes quaisquer em
, a soma delas também deve estar em
.
Sejam duas matrizes em
:
Sabemos que:
Vamos somar
e
:
Precisamos verificar se
:
Portanto, a soma
também pertence a
.
Passo 4
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar.
Isso significa que se pegarmos uma matriz em
e a multiplicarmos por qualquer número real, o resultado também deve estar em
.
Seja uma matriz em
:
e um escalar
.
Multiplicando
por
:
Precisamos verificar se
:
Como
(porque
está em
):
Portanto,
também pertence a
.
Resposta
Como todas as três propriedades de subespaço vetorial foram verificadas, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.